カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ
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カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（1804年12月10日-1851年2月18日）は偉大なドイツ人数学者であり、存命中は当代髄一の活気ある教育者でもあった(ベル、第II巻 244頁)。
ヤコビは1804年、ユダヤ人の家系に生まれる。彼はベルリン大学で学び、1825年に哲学博士の学位を得る。学位論文は部分分数の理論についての解析的なものであった。 彼は1827年にケーニヒスベルク大学で数学の員外教授となり、1829年には正教授となる。そして1842年まで在席した。1843年にヤコビは過労で倒れ、病の床に伏すことになる。そして彼は療養のために数ヶ月間イタリアですごす。帰国後はベルリンに滞在し、国王から年金を受けて一生を過ごした。
1829年、ヤコビは楕円関数に関する古典的論文を著す。この業績は“２階の運動エネルギー方程式を積分する”際の必要性から、数理物理学にとって大変重要である。回転系の運動方程式が可積分 となるのは楕円関数として記述可能な三つの場合のみで、それは振り子 、重力場内の対称こま 、そして自由回転体 である。
ヤコビはまた、楕円関数を数論、たとえばラグランジュが初めて証明した四平方数定理に応用して新たな証明、また一般化を得たり、ピエール・ド・フェルマーの多角数定理(polygonal number theorem)の証明などにも応用した。しばしば超幾何級数の研究に応用される、ヤコビのテータ関数は彼にちなんで名づけられたものである。
彼の最も重要な論文『楕円関数論の新たなる基礎(Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum )』〔ケーニヒスベルク大学、1829年〕や後に「クレレ・ジャーナル」に掲載された論文で示された楕円関数についての研究は、数学に新たな地平を切り開き、とりわけ彼のテータ関数に関する成果は彼の解析学における最も重要な発見である。重要性において２番目に挙げるべきは、the theory of the last multiplier を白眉とする微分方程式に関する研究であろう。この仕事はＲ・Ｆ・Ａ・クレプシュが編纂した彼の講義集『Vorlesungen über Dynamik 』〔ベルリン、1866年〕に完全な形で収められている。
ヤコビが関心を主に向けていたのは解析学ではあったが、数学の他の分野においても多くの重要な貢献を成している。それは彼が1826年以降に「クレレ・ジャーナル｣などで発表した論文の長大なリストを眺めるだけで十分納得できるだろう。彼は行列式の理論における創始者の一人に数えられる。特に、n 個の独立変数をもつ与えられた n 個の関数の n2 個の微分係数の成す関数行列を発明した。それは現在彼の名をとってヤコビアンと呼ばれ、また多くの解析学の研究で重要な役割を演じている。
1835年の論文でヤコビは次のことを証明した。
- もし、複素一変数の一価関数が周期的ならば、周期同士の比は実数になれず、またそのような関数は二つ以上の周期を持てない。
ヤコビは一般の五次方程式を次の形に簡約化した。
- x5 − 10q2x = p.
アーベル関数に関する論文や、数論分野での研究もその価値を認められており、後者については主にカール・フリードリヒ・ガウスの業績を補完するものである。
惑星の運動など特定の力学に関する諸問題にも、折々に同様の関心を向けている。天体力学に力を注いでいた1836年に、ヤコビは恒星座標系に対してヤコビ積分を導入した。
彼が亡くなったとき、後に大量の原稿が残されていた。その一部は間をおいて「クレレ・ジャーナル」で発表されている。彼のほかの仕事としては、『Comnienlatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 』(1832年)、『Canon arithmeticus 』(1839年)、『Opuscula mathematica 』(1846年-1857年) などがある。ベルリン大学の手で『Gesammelte Werke 』が刊行されている(1881年-1891年)。恐らく、彼の最も広く知られた仕事は解析力学におけるハミルトン－ヤコビ方程式であろう。
ベクトル理論の学生はしばしばヤコビ恒等式を目にし、微分方程式の学生はしばしば関数行列に遭遇する。そして、数論と暗号学の分野で研究する者はヤコビ記号を使っている。
[編集] 参考文献
- Men of Mathematics, Eric Temple Bell, Simon and Schuster, New York, 1986.
- （邦訳：『数学をつくった人々』 I～III巻、Ｅ・Ｔ・ベル、早川書房、2003年）
- New Foundations of Classical Mechanics, David Hestenes, Kluwer Adademic Publishers, Dordrecht, 1986.
[編集] 関連項目
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