Algebra

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Algebra (fra arabisk: al-jabr «forening, kombinasjon») generaliserer tallregning ved at bokstaver eller andre symboler representerer tall.

Algebra er en gren innen matematikken som kan beskrives som en generalisering og utvidelse av aritmetikken. Ordet ble først brukt av den arabiske matematikeren al-Khwârismî, som brukte ordet for å beskrive den handlingen han gjorde når han forenklet en ligning.

Algebra har sin opprinnelse i kalkulasjon for det praktiske liv, for eksempel innafor bankvirksomhet og navigasjon, særlig i renessansens Italia. Tidligere hadde matematikken stort sett blitt uttrykt verbalt. Det var araberne som utviklet den greske matematikken i retning av en formelbasert stil. På 1400- og 1500-tallet var det liten grad av enighet mellom matematikere om symbolbruken. Likhetstegnet ble første gang brukt i England, mens «+» og «–» stammer fra Tyskland. På Descartes' tid var algebraen imidlertid etablert med en notasjon som likner mye på dagens, og på Newtons tid kan en si at algebra var vel etablert som en egen gren av matematikken.

[rediger] Algebraens historie

Algebraen utviklet seg ut fra et ønske om å løse ligninger, og fra gammelt av har ordet blitt oversatt med "læren om ligninger". I skolens algebra er fokus stadig på manipulasjon av bokstavuttrykk og løsing av ligninger. Det er vanlig å skille mellom tre ulike stadier i algebraens historie: retorisk algebra, synkopert algebra og symbolsk algebra.

[rediger] Retorisk algebra

Den perioden hvor vi snakker om retorisk algebra regner vi gjerne går fram til den greske matematikeren Diofant omkring 250 e.Kr., men i mange kulturer går det enda lenger. På denne tiden ble alle matematiske oppgaver skrevet med vanlige ord, og der vi ville brukt x-er og y-er brukte de fulle setninger for å forklare sammenhengene. Retorisk algebra stammer fra Egypt og Mesopotamia for omkring 4000 år siden. Hovedkildene fra den egyptiske matematikken er Moskva-papyrusen og Rhind-papyrusen. Mange av de praktiske problemene fra denne papyrusen leder til enkle lineære ligninger. Egypterne hadde metoder for å løse både lineære ligninger og andregradsligninger.

Vår kunnskap om matematikk i det gamle Mesopotamia har vi hovedsakelig fra funn av en rekke leirtavler. Omkring 2000 f.Kr. hadde babylonerne utviklet en retorisk algebra. De kunne blant annet løse andregradsligninger ved å lage et fullstendig kvadrat. Ellers brukte de en metode som besto av gjentatte gjettinger og justeringer. Også i andre kulturer, som Kina og antikkens Hellas, finner vi retorisk algebra.

Al-Khwârismî og andre arabiske matematikere regnes også til den retoriske tradisjonen, og de skrev heller ikke bokstavsymboler i sin matematikk. Også hos Leonardo av Pisa var stilen retorisk.

[rediger] Synkopert algebra

Den perioden som vi betegner som synkopert algebra går fra Diofant til Francois Viète på slutten av 1500-tallet. Diofant var den første som brukte symboler for ukjente størrelser, og disse var en slags forkortelser i en ellers retorisk framstilling av de matematiske problemene. Fra Diofant og fram mot Viète var det en forsiktig utvikling av symbolbruk blant matematikerne. I Europa i renessansen begynte utviklingen av symbolbruk å utvikle seg noe raskere, og de italienske regnemestrene begynte å ta i bruk forkortelser for ukjente. På slutten av 1500-tallet var bokstavene p og m begynt å bli vanlig i bruk som symboler for pluss og minus, mens tyskeren Johannes Regiomontanus sannsynligvis var den første som brukte symbolene + og - i en tekst fra 1456. Likhetstegnet ble innført i 1557 av Robert Recorde, og Leibniz innførte prikksymbolet for multiplikasjon i 1686. I 1659 ble det første divisjonstegnet trykt i en bok av Johann Henrich Rahn.

[rediger] Symbolsk algebra

Interessen for matematikk vokste i Europa mot slutten av middelalderen, og sakte men sikkert ble verkene til de gamle mesterne gjenoppdaget. Så i renessansen blomstret den europeiske matematikken opp, blant annet med de italienske regnemestrene som kunne løse ligninger av både tredje og fjerde grad, og det var i denne perioden den algebraiske symbolbruken begynte å utvikle seg fram mot vår "moderne" notasjon. Vi regner med at det var den franske matematikeren Francois Viète som innledet den perioden som vi kaller for symbolsk algebra, og hans abstraksjon, symbolbruk og notasjon gjorde algebraen mye lettere tilgjengelig for de matematikerne som fulgte etter. Den symbolske algebraen la også grunnlaget for store framskritt i utviklingen av funksjonsbegrepet og analytisk geometri.

På 1600-tallet grunnla Rene Descartes analytisk geometri, som vi kan se på som anvendelse av algebra på geometrien. I samme århundre gjorde Pierre de Fermat flere oppdagelser innenfor tallteorien, og dette kan vi se på som anvendelse av algebra på studiene av egenskapene til de hele tallene. I det påfølgende århundret finner vi blant annet arbeidene til Isaac Newton og Leonhard Euler, og i 1799 offentliggjorde Carl Friedrich Gauss sitt berømte bevis for at en algebraisk ligning av n-te grad har n røtter. Så, i 1824, offentliggjorde den norske matematikeren Niels Henrik Abel det første av sine banebrytende arbeider innenfor algebra: beviset for at det er umulig å løse allmenne ligninger av høyere enn 4. grad gjennom rotutdragning.

Senere kjente navn innenfor algebraen er Évariste Galois, Charles Hermite och Leopold Kronecker.

[rediger] Hovedområder i algebra

Algebraen deles inn tre deler, den retoriske delen, synkoperte delen og den symbolske algebraen. Dette er tre perioder som hver har sin betydning for utviklingen av algebraen. Ettersom den første delen kom fra Egypt, er det naturlig at vi kommer over uttrykk som regula falsi (gjett og juster) som var den måten de lagde likningene på.

En annen inndeling er i:

elementær algebra, hvor en ser på egenskapene til det reelle tallsystemet. Her studeres reglene som gjelder for matematiske uttrykk og ligninger med symboler, symbolene betegner konstanter og variabler.
analyse av funksjoner, hvor en studerer formler, tabeller og grafer.
abstrakt algebra, hvor algebraiske strukturer som grupper, ringer, og kropper blir studert.
lineær algebra, hvor den delen av matematikken som omhandler vektorer og lineære transformasjoner blir studert.
universell algebra, hvor en ser på egenskaper som er felles for alle algebraiske strukturer.
datamaskinalgebra, hvor en ser på algoritmer for symbolsk behandling av matematiske elementer.
Boolsk algebra, hvor hovedfunksjonene er "true" og "false"(Sant og Usant).