عاملي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات، المضروب أو العاملي لعدد صحيح طبيعي n ، و الذي يكتب n!، و الذي يقرأ "عاملي n"، هو جذاء الأعداد الصحيحة الموجبة قطعا و الأصغر أو تساوي n. و يكتب :

أمثلة :

• 1! = 1
• 2! = 1 x 2 = 2
• 3! = 1 x 2 x 3 = 6
• 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3628800

و تعريف العاملي على شكل جذاء يترتب عنه كون 0! = 1 ذلك أن 0! جذاء مفرغ، و بمعنى آخر مقتصر على العنصر المحايد في عملية الضرب.

و يلعب العاملي دورا أساسيا في علم الإحتمالات و التراتيب بما أنه يوجد n! طريقة مختلفة لتوزيع n شيئا. و يظهر العاملي في عدة معادلات رياضية، مثل سيغة الثنائي لنيوتن و صيغة تايلور.

و تعطينا صيغة ستيرلينع مساويا لـ n! عندما تكون n كبيرة :

[تحرير] عاملي عدد غير صحيح

لكل عدد صحيح n، لدينا Γ(n + 1) = n! حيث Γ هي دالة أولير (دالة غاما) و ضعها ليونارد أولير. و تمكننا دالة أولير من تعميم العاملي على مجموعة الأعداد المركّبة باستثناء الأعداد السالبة قطعا. و في النهاية نجد :

[تحرير] البرمجة

يمكن حساب عاملي عدد ما باستعمال خوارزميات الاستقراء. فلنكتب باستعمال لغة Scheme، القريبة من لغة Lisp، برنامجا استقرائيا يعطينا عاملي عدد صحيح :

(define fact
  (lambda (x)
    (if (= x 0) 1
      (* x (fact (- x 1))))))

و هذا البرنامج السابق غير مفيد في حالة الاعداد الكبيرة.

و بنفس الطريقة في Caml :

let rec fact n = 
  match n with
    | 0 -> 1
    | _ -> n * fact(n-1)
;;

و بطريقة أخرى:

let fact n =
  let rec aux n r =
    match n with
      | 0 -> r
      | _ -> aux (n-1) (n*r)
  in
  aux n 1
;;

و في لغة سي:

int factorielle_recursive(int n)
{
  if (n == 0)
    return 1;
  else
    return n * factorielle_recursive(n-1);
}

و بطريقة أخرى:

int factorielle_iterative(int n)
{
  int res;
   
  for (res = 1; n > 1; n--)
    res *= n;
   
  return res;
}

و في لغة Python:

fact = lambda x : x>0 and x*fact(x-1) or 1

----------------------------------------------------

الاستعمال :
for i in range(10):
    print "fact %d = %d" %(i, fact(i))

و يظهر على الشاشة :
fact 0 = 1
fact 1 = 1
fact 2 = 2
fact 3 = 6
fact 4 = 24
fact 5 = 120
fact 6 = 720
fact 7 = 5040
fact 8 = 40320
fact 9 = 362880

هذه الدوال (البرامج) لا تمكننا من حساب عملي أعداد أكبر من 12 إذا كانت الاعداد الصحيحة محدودة بـ 32 بت، لأن النتيجة تتعدى المساحة المتوفرة.