Factorial

De Viquipèdia

El factorial d'un nombre natural n és el producte de tots els nombres enters positius menors i iguals a n. S'escriu n! i s'anomena "n factorial":

és a dir,

Per exemple, 5! = 5·4·3·2·1 = 120, mentre que 0! = 1 per definició. Els factorials dels deu primers nombres enters són:

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800

La notació ! fou introduïda per Christian Kramp el 1808.

[edita] Aplicacions

Els factorials s'utilitzen molt en la branca de les matemàtiques anomenada combinatòria, a través del binomi de Newton, que dóna els coeficients de la forma desenvolupada de (a + b)n:

(a + b)ⁿ = aⁿ + n × a^{n − 1} × b + C_{n, 2} × a^{n − 2} × b² + ... + n × a × b^{n − 1} + bⁿ

amb:

Per mitjà de la combinatòria, els factorials intervenen en el càlcul de les probabilitats. Intervenen també en l'àmbit de l'anàlisi, en particular a través del desenvolupament polinomial de les funcions (fórmula de Taylor). Es generalitzen als reals amb la funció gamma, de gran importància en el camp de l'aritmètica.

Existeix un equivalent, quan n tendeix a l'infinit, del factorial de n, donat per la fórmula de Stirling:

n! ≈ √(2πn) (n/e)ⁿ.

L'avantatge d'aquesta fórmula és que no precisa inducció, i per tant permet avaluar n! més ràpidament (encara que en forma aproximada) quan major sigui n.

[edita] La funció gamma

El concepte de factorial és natural per als nombres enters, però la idea es pot generalitzar a nombres reals gràcies a la funció gamma, que defineix el factorial de la següent manera:

que, a més, també permet estendre el concepte als nombres complexos, exceptuats els enters negatius.

[edita] Enllaços externs

• Factorial n! (en anglès, francès i txec).