계승
위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.
계승(階乘, Factorial) 또는 차례곱은 1부터 n까지의 연속된 자연수를 차례로 곱한 값이다. 기호로는 n!과 같이 느낌표(!)를 사용하며 1808년 수학자 크리스티앙 크람프가 처음으로 썼다.
차례곱은 북조선에서 주로 쓰는 용어이다. 또한 팩토리얼이라고 영어 발음을 그대로 옮겨 쓰는 경우도 흔하다.
n = 0, 1, 2, ··· 에 대한 계승의 수열은 다음과 같다.
- 0! = 1
- 1! = 1
- 2! = 2
- 3! = 6
- 4! = 24
- 5! = 120
- 6! = 720
- 7! = 5040
- 8! = 40320
- 9! = 362880
- 10! = 3628800
- 11! = 39916800
- 12! = 479001600
- 13! = 6227020800
- 14! = 87178291200
- 15! = 1307674368000
- 16! = 20922789888000
- 17! = 355687428096000
- 18! = 6402373705728000
- 19! = 121645100408832000
- 20! = 2432902008176640000
- ···
[편집] 정의
계승함수는 아래와 같이 형식적으로 정의한다.
예를 들면,
또한 0에 대해서는
로 정의한다. 이 정의는 다음과 같은 이유에서 매우 유용하다.
- 계승의 점화식 (n + 1)! = n! × (n + 1) 이 n = 0 일 때까지 성립한다.
- 이 정의는 조합론에 등장하는 많은 공식에서 크기가 0인 집합에까지 식을 일반화 한다.
[편집] 정수가 아닌 경우의 정의
정수가 아닌 수에서도 감마 함수를 이용하여, 좀 더 일반적인 형태의 계승을 정의할 수 있다: 감마함수는 Γ로 표시하고, z>-1일때 다음과 같다.
마지막의 수식은 음수와 같은 예외를 포함한, 복소수 집합에서의 일반적인 계승을 나타낸다.
특히, 정수 + 0.5 꼴의 수에서는
과 같이 계산된다.
예를 들면:
