Differentiaaliyhtälö

Wikipedia

Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan matematiikassa yhtälöä, jossa esiintyy tuntematon, yhden tai useamman muuttujan, funktio sekä sen derivaattoja. Differentiaaliyhtälöillä on runsaasti käyttöä mitä erilaisimmissa käytännön sovelluksissa, erityisesti fysikaalisten ilmiöiden mallintamisessa, mutta sovelluskenttä jatkuu lääkeaineen poistumisesta jyrsijäkantojen vaihteluun.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ei ole olemassa mitään yleispätevää menetelmää vaan ratkaiseminen tapahtuu yleensä joko tunnistamalla yhtälö tietyn muotoiseksi ja käyttämällä tämän nimenomaisen yhtälötyypin ratkaisumenetelmää tai, mikäli tämä ei ole mahdollista, on tyydyttävä numeeriseen ratkaisuun.

Sisällysluettelo

1 Differentiaaliyhtälöihin liittyviä nimityksiä
2 Ratkaisu ja sen olemassaolo
3 Differentiaaliyhtälöiden erikoistapauksia
- 3.1 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä
- 3.2 Toisen kertaluvun yhtälöitä
4 Katso myös

[muokkaa] Differentiaaliyhtälöihin liittyviä nimityksiä

Jos tuntematon funktio on yhden muuttujan funktio, esimerkiksi y(x), puhutaan tavallisesta differentiaaliyhtälöstä. tai vain differentiaaliyhtälöstä. Esimerkkejä tavallisista differentiaaliyhtälöistä ovat

$\,\!y' = \sin x$

$\,\!y'' + 3y= 0$

Jos tuntematon funktio on usean muuttujan funktio, esimerkiksi v(x, y, z), kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö. Yhtälössä esiintyvät derivaatat ovat tällöin funktion v osittaisderivaattoja muuttujien (tässä x, y, z) suhteen. Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden käsittely eroaa jonkin verran tavallisista.
Differentiaaliyhtälön kertaluku on sama kuin korkeimman siinä esiintyvän derivaatan kertaluku. Yllä olevista esimerkeistä ensimmäinen on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö kun taas jälkimmäinen on toista kertalukua.
Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos funktiota tai sen derivaattoja ei ole korotettu potenssiin. Tämän vastakohtana differentiaaliyhtälö on epälineaarinen, jos siinä esiintyy toista tai korkeampaa potenssia. Molemmat yllä olevat esimerkit ovat lineaarisia, mutta yhtälö

$y'' + 3y^2 = 0\,$

on epälineaarinen.

Mikäli differentiaaliyhtälössä ei esiinny näkyvää eli eksplisiittistä riippuvuutta $x$ :stä yhtälö on autonominen. Yllä olevista esimerkeistä kaksi viimeistä yhtälöä on autonomisia mutta ensimmäinen ei, sillä $\sin x\,$ sisältää näkyvän riippuvuuden $x$ :stä.

[muokkaa] Ratkaisu ja sen olemassaolo

Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaoloa koskee Pickardin–Lindelöfin lause, joka takaa ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tiettyjen reunaehtojen vallitessa. Differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio $y = y (x)$ , joka alkuperäiseen yhtälöön sijoitettaessa toteuttaa sen. Ratkaisua ei kuitenkaan ole aina mahdollista kirjoittaa tällaiseen eksplisiittiseen muotoon vaan joskus saatetaan joutua tyytymään myös implisiittiseen ratkaisuun, joka on muotoa $G (x, y) = 0$ .

Mitään yleistä keinoa differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi ei ole ja analyyttisen ratkaisun löytyminen ylipäänsä on taattua ainoastaan lineaarisille differentiaaliyhtälöille. Myös eräille epälineaarisille yhtälöille tunnetaan analyyttinen ratkaisu, mutta sen löytyminen ei siis yleensä ole taattua. On olemassa suuri joukko erikseen nimettyjä differentiaaliyhtälöitä, joiden analyyttiseen ratkaisuun johtava menetelmä tunnetaan. Näitä tapauksia on lueteltu artikkelin lopussa. Differentiaaliyhtälöiden ratkeamiselle on myös tyypillistä, että ratkaisumenetelmän tuottaman yleisen ratkaisun lisäksi on olemassa myös erikoisratkaisu, jota ei usein ole mahdollista löytää kuin päättelemällä tai huomaamalla.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu ei yleisessä tapauksessa ole yksikäsitteinen vaan ratkaisuun jää aina yhtälön kertaluvun osoittama määrä vakioita, joita ei ole mahdollista selvittää ilman lisätietoja kuvattavasta systeemistä. Kaikkien näiden ratkaisujen muodostamaa joukkoa kutsutaan yhtälön ratkaisuparveksi. Yksikäsitteisen ratkaisun löytämiseen tarvittavia lisätietoja ovat tyypillisesti alkuarvot (esim. tiedetään että $y (0) = 3$ ), joita on kaikkien tuntemattomien vakioiden määräämiseksi tunnettava yhtälön kertaluvun osoittama määrä. Jos alkuarvot tunnetaan, yhtälön ratkaisussa puhutaan alkuarvotehtävästä.

Mikäli yhtälön ratkaisemiseen ei ole olemassa valmista "kaavaa", analyyttistä ratkaisua voidaan hakea olettamalla ratkaisulle jokin sarjakehitelmä (yleensä potenssisarja) ja sijoittamalla se tarvittavine derivaattoineen yhtälöön. Näin on mahdollista löytää sarjakehitelmän kertoimet. Mikäli yhtälön ratkaisu on alkuarvotehtävä, ratkaisussa voidaan yrittää käyttää integraalimuunnoksia. Useimmat yhtälöt on kuitenkin ratkaistava lopulta numeerisesti tietokoneella koska analyyttistä ratkaisua ei ole olemassa.

[muokkaa] Differentiaaliyhtälöiden erikoistapauksia

Koska differentiaaliyhtälön ratkaiseminen yleensä edellyttää yhtälön tyypin tunnistamista, huomattavan monet differentiaaliyhtälöt, joiden ratkaisumenetelmä tunnetaan, on nimetty erikseen.