Matematikkens historie

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Matematikkens historie går flere tusen år tilbake i tid, lenge før ordet matematikk oppstod. Ordet «matematikk» kommer fra gresk μάθημα (máthema) som betyr vitenskap, kunnskap eller læring. μαθηματικός (mathematikós) betyr «glad i å lære». I dag refererer begrepet til en bestemt kunnskapsgren – den deduktive studien av antall, struktur, rom og endring.

Det fins flere oppfatninger om når matematikken oppstod. Lenge før matematikk utviklet seg som eget kunnskapsområde har menneskene vært opptatt av antall, strukturer, former og figurer, lokalisering i rommet, og mange andre emner som opptar matematikere. Den mest fundamentale matematiske ideen dreier seg om telling^[1], så når en skal ta for seg matematikkens historie er det naturlig å starte med tall og telling. Tallsystem har ofte utviklet seg fra skriftspråk. Matematikken har utviklet seg forskjellig i ulike kulturer. Noen sentrale utviklingsliner var mesoamerikansk matematikk, matematikken rundt Middelhavet (deriblant klassisk gresk matematikk og arabisk matematikk), vedisk matematikk og kinesisk matematikk.

De første matematiske tekstene er funnet i det gamle Egypt, omkring 1300 f.Kr., og i det gamle Mesopotamia, omkring 1800 f.Kr. Også fra India har man funnet noen gamle matematiske tekster, mellom 800 og 500 f.Kr. Alle disse tidlige kulturene har tekster som dreier seg om det som i dag omtales som Pythagoras' læresetning, selv om Pytagoras selv hører hjemme i antikkens Hellas. Hvis man ser bort fra grunnleggende aritmetikk og geometri, er dette også den mest kjente matematiske teorien helt fram til våre dager.

Man regner ofte med at matematikken i Vesten ble systematisert omkring 1500-tallet. Posisjonssystemet og algebra var da kommet til den vestlige kulturen fra Østen. På 1600-tallet ble differensial- og integralregningen utviklet i Europa med hovedbidrag fra Leibniz og Newton. De siste århundrene fram mot vår tid har matematikken utviklet seg både i bredden og dybden. Det har oppstått flere nye grener av matematikken, som topologi, ikke-euklidske geometrier og abstrakt algebra. I dag er matematikk et så omfattende og sammensatt felt at det er umulig for en matematiker å ha oversikt over alt.

Innhold 1 Forhistorisk tid, antikken og middelalderen 1.1 Matematikk i oldtidens Egypt (ca. 1850–600 f.Kr.) 1.2 Babylonernes matematikk (ca. 1800–550 f.Kr.) 1.3 Kinesisk matematikk (etter ca. 1300 f.Kr.) 1.4 Indisk matematikk (ca. 900 f.Kr.–1150 e.Kr.) 1.5 Grekernes matematikk (ca. 550 f.Kr.–300 e.Kr.) 1.6 Arabisk matematikk (ca. 700–1600) 1.7 Middelalder i Europa 2 Gjennombruddet i Europa 3 Moderne utvikling 3.1 1700-tallet 3.2 1800-tallet 3.3 1900-tallet 4 Norsk matematikkhistorie 4.1 De to store 4.2 Organiseringen av norsk matematikk 5 Referanser 6 Litteratur 7 Eksterne lenker

[rediger] Forhistorisk tid, antikken og middelalderen

Dersom man ser på matematikk som bevisst anvendelse av abstrakte strukturer, kan det argumenteres for at matematikkens historie startet med utviklingen av antallsbegrepet – blant annet representert ved innsikten om at to epler og to appelsiner representerer en mengde (og at de to mengdene er like store). Menneskets evne til å regne blir av mange ansett for å være minst 50 000 år gammel. Ved arkeologiske utgravninger er det gjort funn av et lårben fra en ulv som er datert til omkring 30 000 f.Kr. ^[2] På dette benet var det risset inn 55 streker, systematisk etter hverandre. Dette og lignende funn vitner om en grunnleggende forståelse for antall, og det representerer første trinn i utviklingen mot et tallsystem. En nødvendig forutsetning for matematikkens utvikling var også skrivekunsten, som gjorde at en kunne skrive ned tallene og forholdet mellom dem på en systematisk måte.

De tidligste sivilisasjoner var jordbrukssamfunn. For at et slikt samfunn skal kunne fungere er det nødvendig med ulike typer matematisk kunnskap. Først og fremst må en ha en godt utviklet kalender, slik at en kan vite når det er tiden for å så og høste. Foruten kunnskaper om tall og regning, trengs ganske omfattende astronomiske kunnskaper for å lage en kalender. Kunnskaper innenfor astronomi utvikles gjennom matematiske beregninger. Et jordbrukssamfunn har også behov for kunnskaper innen landmåling, slik at en kan fordele landområdene mellom bøndene. Landmåling krever geometrisk kunnskap (spesielt trigonometri), og ordet geometri betyr da også landmåling. De tidligste sivilisasjonene i Midtøsten var sentrert omkring de store elvene, og her var det behov for å kartlegge og beregne når flommene kom, slik at en kunne sikre seg mot for store tap av avling og menneskeliv. Etter en flom måtte en ofte måle opp bøndenes landområder på nytt, for flommene medførte gjerne endringer av landskapet rundt elvene.

I sammenheng med dette ser man fra historiske kilder at alle sivilisasjoner har utviklet matematisk kunnskap for å løse praktiske problemer i forbindelse med bokføring, astronomi, jordbruk og konstruksjon. Blant annet benyttet de antikke babylonerne, egypterne, inderne og senere grekerne sofistikerte tallsystemer, numeriske metoder, geometri og tallteori. Grekerne utviklet også matematisk logikk og deduktiv bevisførsel.

I det påfølgende årtusenet levde matematikken stort sett videre i den arabiske verden, India og Kina. Det var i denne perioden man startet å anvende tallet null og desimalsystemet. Den persiske matematikeren og vitenskapsmannen Al-Khwârizmî gjorde en viktig innsats i utviklingen av algebra omkring år 800.^[3]

[rediger] Matematikk i oldtidens Egypt (ca. 1850–600 f.Kr.)

Fram til forskerne klarte å tyde de babylonske leirtavlene, var Egypt den rikeste kilden man hadde til kunnskap om matematikk i oldtiden. Mens babylonerne skrev på leirtavler med kileskrift, skrev egypterne på papyrus med hieroglyfer. Den papyrusen som har gitt oss mest kunnskap om matematikken i det gamle Egypt er den såkalte Rhind-papyrusen. Blant noen forskere blir denne papyrusen tidfestet til ca. 1650 f.Kr.^[4]

Egypterne hadde blant annet en interessant metode for multiplikasjon og divisjon, og denne metoden baserer seg faktisk på de samme prinsippene som blir brukt i moderne datamaskiner. Denne metoden kalles for utvikling i totallsystemet. Rhind-papyrusen gir oss også informasjon om egypternes bruk av stambrøker. En stambrøk er en brøk som har tallet 1 i teller (over brøkstreken).

I likhet med vårt moderne tallsystem hadde også egypterne et velutviklet titallsystem (grunnen til at ti ble valgt som grunntall, var at det allerede dengang var vanlig å telle på fingrene). Mens vårt tallsystem er et posisjonssystem, hvor sifrenes plassering har betydning, var egypternes tallsystem et såkalt additivt tallsystem. Egypternes tallsystem hadde symboler for 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 og 1 000 000. Når de skulle skrive et tall, skrev de symbolene ved siden av hverandre og adderte dem på samme måte som man kjenner fra det romerske tallsystemet.

En annen kilde til kunnskap om de gamle egypternes matematikk er den såkalte Moskva-papyrusen; av denne fremgår det at egypternes kunnskaper i matematikk gikk mye lenger enn det Rhind-papyrusen tyder på. Papyrusen inneholder 25 matematiske problemer, som blant annet viser oss at egypterne må ha kjent til formelen for volumet av en pyramide. Ett av problemene viser at de også må ha hatt kunnskap om formelen for volumet av en avkortet pyramide. ^[5]

[rediger] Babylonernes matematikk (ca. 1800–550 f.Kr.)

Babylonsk matematikk refererer til all den matematikken som fantes hos menneskene som levde i det gamle Mesopotamia (dagens Irak), helt fra de tidligste sumeriske kulturene til begynnelsen av hellenismen. Det har fått navnet babylonsk matematikk på grunn av den viktige rollen byen Babylon hadde på den tiden. Likevel er det egentlig misvisende å snakke om babylonsk matematikk, for den mesopotamiske kulturen omfattet mye mer enn Babylon og områdene som hørte til. ^[6]

Kunnskapen man har om de gamle mesopotamerne og de sumeriske kulturene har man fra en rekke (mer enn 400) leirtavler med kileskrift. Ut fra disse tavlene kan man lese om en rik kultur. Her finner en også bevis for at babylonerne hadde en høyt utviklet matematikk.

Babylonerne benyttet et tallsystem hvor 60 var grunntall istedet for 10, slik det er i vårt tallsystem. Dette tallsystemet blir ofte referert til som det seksadesimale tallsystem. Tallene ble skrevet med kileskrift, og en skrev på leirtavler. Dersom babylonerne for eksempel skulle skrive tallet 75, ville det ha blitt skrevet som (1)(15), eller .

Ved studier av de babylonske leirtavlene har forskere funnet flere matematiske tabeller, blant annet multiplikasjonstabeller, divisjonstabeller og tabeller for regning med desimalbrøker. I det hele tatt baserte en stor del av babylonernes matematikk seg på regning og løsning av problemer ved å bruke tabeller. I tavler som stammer fra den seleukiske perioden kan man også finne et symbol for 0.^[7]

Den babylonske leirtavlen som er mest kjent har fått navnet Plimpton 322. Den har blitt beskrevet som et av de mest oppsiktsvekkende dokumenter i matematikkens historie. ^[8] Forskere mener at de i dag fullt ut forstår innholdet i denne leirtavlen, og denne forståelsen har revolusjonert oppfatningen om den babylonske matematikken. Leirtavlen består blant annet av en tabell med såkalte pythagoreiske tripler, og denne tavlen gir oss bevis for at babylonerne kjente til den pythagoreiske setningen mer enn tusen år før Pythagoras levde. Babylonerne var også flinke til å behandle summer av kvadrater, og i flere leirtavler ser man at de brukte dette til å løse det man ville kalle for ligninger.

[rediger] Kinesisk matematikk (etter ca. 1300 f.Kr.)

De tidligste bevarte kilder til kinesisk matematikk stammer fra tall som er risset inn på skilpaddeskall (såkalte orakelben). Disse stammer fra Shāng-dynastiet (ca. 1500–1027 f.Kr.). Disse tallene er skrevet i et posisjonssystem, slik at tallet 123 er skrevet (fra topp til bunn) med symbolet for 1 一 fulgt av symbolet for 100 百, deretter symbolet for 2 二 fulgt av symbolet for 10 十, og til sist symbolet for 3 三 （sammen 一百二十三). Dette var sannsynligvis det mest avanserte tallsystemet i verden på denne tiden^{[trenger referanse]}. Dette tallsystemet er fortsatt i bruk i kinesisk skriftspråk, ved siden av arabiske tall. Det kunne gjøres raske og avanserte utregninger ved hjelp av en suànpán, som er en kinesisk kuleramme. Denne oppfinnelsen ble trolig utviklet til praktisk bruk av handelsmenn og gav en «regnekraft» som ikke ble passert før kalkulatorens oppfinnelse.

I 212 f.Kr. beordret Qín-dynastiets keiser Shǐ Huáng at alle bøker skulle brennes. Selv om denne ordren ikke ble fulgt overalt, er konsekvensen at man i dag har få sikre kilder om matematikken i det gamle Kina.

Under Táng-dynastiet ble den til da kjente matematiske viten samlet i verket Ti klassikere om matematikk (Suànjīng shíshù, 算经十书). Den mest innflytelsesrike av disse ti er Matematikk i ni kapitler (Jiǔzhāng suànshù) skrevet av en anonym forfatter for 2000 år siden. Den inneholder praktiske løsninger på matematiske problem, uten bruk av avansert deduksjon slik samtidig gresk matematikk tilstrebet. Flere av bokas beviser ble ikke oppdaget i Europa før over tusen år senere. ^[9] De fleste matematiske problem var knyttet til renteregning, skattlegging, rekker, geometri og landmåling. En kinesisk matematiker var den første som klarte å beregne π med hele 7 desimaler.

Eksamenssystemet for statstjenestemenn var enerådende karrierevei for personer med høyere utdanning fra Sòng-dynastiet og senere. Disse harde eksamenene vektla kun kunnskap om konfusianske klassiske tekster. Derfor var studier av matte kun en distraksjon fra eksamenspresset som det ikke lønte seg å vie tid til. Dette er en mulig forklaring til at kinesisk matematikk senere kom til å miste sitt forsprang^[10]. Man holdt seg med et matematisk-astronomisk direktorat som hadde som hovedoppgave å beregne kalenderen, men kalenderoppsettene ble mer og mer upålitelige inntil europeiske jesuitter med matematisk utdannelse ble engasjert på 1600-tallet.

[rediger] Indisk matematikk (ca. 900 f.Kr.–1150 e.Kr.)

India har en lang og spennende historie, både som nasjon og som matematikk-nasjon. Landet har fostret mange store matematikere, fra det 9. århundre, via den store Brahmagupta (598–670) til vårt tids Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920), som blir regnet som et av Indias største matematiske genier.

I det 9. århundre før vår tidsregning, blir verdien til π angitt med to desimaler i teksten Shatapatha Brahmana. Sulba Sutraene (ca. 800–500 f.Kr.) var geometriske tekster, og her finner man irrasjonale tall, primtall og kubikkrot. Her finner man også roten av 2 utregnet med fem desimaler. Teksten ga også en metode for å finne sirkelens kvadrat, den løste lineære og kvadratiske ligninger, utviklet pytagoreiske tripler algebraisk, og den ga et numerisk bevis for Pythagoras' læresetning. I det 5. århundre f.Kr. ble de grammatiske reglene for Sanskrit utformet av Panini. Hans notasjon var ikke ulik moderne matematisk notasjon, og den tok i bruk metaregler, transformasjoner og rekursjoner på en sofistikert måte, og på mange måter kan derfor Paninis arbeid regnes som forløperen til moderne grammatiske teori som er viktig i programmeringsspråk.

I verk av Pingala (omkring det 3.–1. århundre f.Kr.) finner man matematiske ideer som kan regnes som forløper for det binære tallsystem, binomialformelen og fibonacci-tall.

Mellom 300 f.Kr. og 200 e.Kr. begynte matematikere innenfor jainismen å studere matematikk for matematikkens egen skyld. De var de første til å utvikle blant annet transfinite tall, gruppeteori, logaritmer, tredjegradsligninger, fjerdegradsligninger, permutasjoner og kombinasjoner. Bakshali-manuskriptet, som ble skrevet en gang mellom 200 f.Kr. og 200 e.Kr., inneholder løsningene på lineære ligninger med opp til fem ukjente, løsning av andregradsligninger, aritmetiske og geometriske rekker, bruk av nullen og negative tall, og mye mer. Her kan man også finne nøyaktige utregninger av irrasjonale tall. Noen av disse utregningene innebærer at en må trekke kvadratroten av tall på størrelse med en million, og de er regnet ut med minst 11 desimaler.

Brahmagupta (598–668) var en markant indisk matematiker, og han blir ofte kreditert oppdagelsen av nullen. I sitt verk Brahma Sphuta Siddhanta fra ca. 628 presenterer han regler for regning med negative tall og null. Han er også kjent som den første som ga den generelle løsningen til den diofantiske ligningen på formen ax + by = c. Han etterlot seg også en rekke matematiske problem som var formulert på en kunstferdig måte, slik de indiske matematikerne ofte gjorde.

En av tidenes største indiske matematikere var Bhaskara (1114–1185). I tillegg til sine arbeid innen aritmetikk, algebra og trigonometri, er han en av forløperne for moderne matematisk analyse. Han hadde stor forståelse for differensial- og integralregning lenge før Newton og Leibniz formelt grunnla analysen. Bhaskaras mest kjente verk var Lilivati, oppkalt etter hans eneste datter.

[rediger] Grekernes matematikk (ca. 550 f.Kr.–300 e.Kr.)

Grekerne leverte mange viktige bidrag til utviklingen av matematikken, og den aller viktigste var nok innføringen av det matematiske beviset. Tidligere sivilisasjoner hadde også hatt en høyt utviklet matematikk, men da stort sett i form av mer eller mindre velutviklete algoritmer (oppskrifter) for å løse bestemte problem og gjøre ulike utregninger. For de greske matematikerne var det ikke lenger nok bare å regne seg fram til en numerisk løsning på problemene, en måtte også bevise at svaret var riktig. En stor del av den kjente matematikken fra Antikken ble sammenfattet omkring 300 f.Kr av Euklid i verket Elementene. Her ser man for første gang en strengt oppbygd matematikk som starter med noen definisjoner og aksiomer, og ut fra disse blir alle de matematiske setningene bevist. Dette verket har stor betydning for utviklingen av matematikken, og det har blitt brukt som læreverk i geometri ved universitetene helt fram til vår tid.

Den første greske matematikeren som nevnes i historiske kilder var Thales fra Milet. Han regnes også som den første greske filosof og vitenskapsmann generelt. En av de mange historiene som er nedtegnet om Thales, er at han ved hjelp av beregninger kunne forutsi en solformørkelse i 585 f.Kr.^[11] Han ble blant annet kreditert oppdagelsen av at diameteren deler sirkelen i to like store deler og at alle vinklene i en likesidet trekant er like store.

Den greske matematikeren som er best kjent i dag er nok Pytagoras. Pytagoras var fra øya Samos like ved kysten av dagens Tyrkia, og han slo seg etter hvert ned i en liten gresk by i det sørlige Italia. Her hadde han en gruppe disipler rundt seg, og denne gruppen ble senere kalt pytagoreerne. Dette var en religiøs og filosofisk skole som det er knyttet mange historier og myter til. Pytagoreerne var svært opptatt av tall, og Pytagoras blir ofte tillagt sitatet: "Alt er tall". Pytagoras oppdaget også forholdet mellom harmoniske toner i musikken. Den mest kjente setningen som knyttes til Pytagoras er nok likevel den såkalte Pytagoras læresetning. Denne setningen viser en viktig sammenheng i alle trekanter som har en rett vinkel. Hvis du kvadrerer (multipliserer med seg selv) de to korteste sidene (katetene) i en rettvinklet trekant og adderer de to tallene du får, så blir dette like mye som kvadratet av den lengste siden i trekanten (hypotenusen). Denne setningen kan også brukes for å vise at en trekant er rettvinklet.

I moderne analyse er uendelig små størrelser sentrale. Grunnlaget for den tenkningen man finner der ble lagt allerede hos Zenon (ca. 490–425 f.Kr.). Han er særlig kjent for sine paradokser. Et av paradoksene har utgangspunkt i at man kan dele et linjestykke i uendelig mange biter. For at man skal komme fra et punkt til et annet på et linjestykke må man først bevege seg halvparten av veien. For å komme dit, må man først bevege seg halvparten av dette nye linjestykket, og slik fortsetter det. Resultatet, ifølge Zenon, er at all bevegelse vil være umulig. ^[12]

Perikles var nok mer kjent som filosof og naturvitenskapsmann enn matematiker, men hans navn knyttes likevel til et av de store problemene i matematikkens historie. Dette gjelder problemet om sirkelens kvadratur. Problemet dreier seg om å konstruere (med passer og linjal) et kvadrat som har samme areal som en gitt sirkel.

To av de aller største greske tenkere, Platon og Aristoteles leverte ikke selv noen viktige resultater i matematikk, men de har likevel hatt innflytelse på utviklingen av matematikken i antikkens Hellas. Begge grunnla sine skoler hvor det blant annet ble undervist i matematikk, og noen av deres elever har hatt stor betydning for matematikkens utvikling. Platon så på matematikk som en del av den oversanselige virkeligheten, og han mente at matematikken dermed var opphøyet over alle de andre vitenskapene. Dette synet var Aristoteles uenig i.^[13]

En av Platons elever, Evdoksos, leverte viktige bidrag til astronomien, og han laget også en permanent kalender. Han skal også ha vist at volumet av en kjegle er en tredjedel av volumet til en sylinder med samme grunnflate og høyde, og at volumet til en pyramide er en tredjedel av volumet til et prisme med samme grunnflate og høyde.

I hellenismen ble den greske matematikken videreutviklet med hovedsete i Alexandria. Her levde den store Euklid som samlet all datidens kunnskap i matematikk i sitt store verk Elementene. Dette verket inneholder ikke bare geometri, men også viktige resultater fra andre deler av matematikken. I den hellenistiske tidsalderen leverte også Arkimedes viktige bidrag til matematikken. I likhet med Fermat offentliggjorde han ofte sine resultater uten bevis, slik at andre matematikere kunne ha fornøyelsen av å finne det ut selv.^[14]

Den siste av de store greske geometrikerne var Apollonius fra Perga (ca. 262–190 f.Kr.). Han er særlig kjent for sine teorier om kjeglesnitt, og hans mest kjente verk er Conica (som betyr kjeglesnitt). Et kjeglesnitt kan defineres som snittet mellom en kjegle og et plan, og Apollonius var den første som innså at en kan få alle typer kjeglesnitt ved å skjære en fast kjegle med et varierende plan. Tidligere hadde en bare sett på rette kjegler. Apollonius innførte også navnene ellipse, parabel og hyperbel.^[15]

En av de siste betydningsfulle greske matematikerne var Diofant, også kalt Diofantos fra Alexandria. Han skal ha hatt sitt virke omkring år 250, og hans mest kjente verk er Aritmetika. Dette verket har hatt stor betydning for utviklingen av matematikk helt fram til våre dager, og den hadde stor påvirkning på en matematiker som Fermat. Her beskriver Diofant hvordan en kan generere alle primitive pytagoreiske tripler, og det var i margen av dette avsnittet i boken at Fermat skrev sin berømte kommentar som senere har blitt kalt Fermats siste teorem.

[rediger] Arabisk matematikk (ca. 700–1600)

På 700-tallet erobret araberne store deler av Midtøsten, Nord-Afrika, den iberiske halvøy og deler av India, og araberne ga flere viktige bidrag til utviklingen av matematikken.

Selv om de fleste islamske tekster om matematikk ble skrevet på arabisk var ikke alle skrevet av arabere. På denne tiden var arabisk et utbredt skriftspråk blant lærde i de delene av verden som araberne hadde erobret, på samme måte som gresk var et utbredt språk i den hellenistiske verden. Noen av de viktigste matematikerne innenfor den muslimske verden var persere.

En av de mest kjente arabiske matematikerne var Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, som levde på 800-tallet i Persia. Han skrev flere viktige bøker. De viktigste tekstene hans var om de hindu-arabiske tallene og om metoder for å løse ligninger. Ordet algoritme er utledet av hans navn, og ordet algebra stammer fra tittelen på ett av hans mest kjente verk: Al-Jabr wa-al-Muqabilah. Al-Khwarizmi blir ofte sett på som grunnleggeren av moderne algebra.

En videre utvikling av algebra finner man hos Abu Bakr al-Karaji (953–1029) i hans bok al-Fakhri. På 900-tallet ble verkene til Diofant oversatt fra gresk til arabisk av Abul Wafa.

Omar Khayyám – en arabisk dikter som levde på 1100-tallet – var også matematiker, og han skrev blant annet en bok hvor han tok for seg svakhetene i Euklids Elementene. Han ga også en geometrisk løsning på kubiske ligninger, som blir regnet som en av de mest originale bidragene fra den arabiske matematikken. Han hadde også sterk innflytelse på kalenderreformene.

Nyere forskning har rettet oppmerksomheten mot den store dybden i den arabiske matematikken. Mange av de ideene som tidligere ble sett på som nyvinninger av europeiske matematikere på 1500-tallet, 1600-tallet og 1700-tallet ble i virkeligheten utviklet av arabiske matematikere omkring fire århundre tidligere. På mange måter ligger den matematikken som studeres i dag mye nærmere den arabiske matematikken enn den gamle greske matematikken.

[rediger] Middelalder i Europa

Mens den arabiske matematikken blomstret helt fram til slutten av 1400-tallet, var det lite matematisk aktivitet i Europa. Ett av unntakene i den tidlige middelalderen var Alkuin fra York (735–804). Han fikk i oppgave å undervise Karl den store og hans familie i retorikk, logikk, teologi og matematikk. Han skrev elementære bøker i aritmetikk, geometri og astronomi, og han bygde opp en katedralskole i Tours. Denne ble en forløper for de franske universitetene. Han skrev lærebøkene i form av spørsmål og svar, og de inneholder flere klassiske matematiske problemer.

I høymiddelalderen skjer en oppvåkning i Europa, og mange av de greske filosofene blir gjenoppdaget. Det oppstår blant annet en ny interesse for Aristoteles' logikk, og i denne perioden utvikles også skolastikken.

På 1200-tallet var flere regnebøker i bruk i Europa, og blant dem finner man også Algorismus i Hauksbok. Hauksbok ble skrevet av Haukr Erlendsson, som var lagmann på Island i 1294 og kom til Norge i ca. 1301. En del av denne boken kalles for Algorismus, og dette er den eldste regneboken på noe nordisk språk. Boken starter med å beskrive posisjonssystemet, og den fortsetter med å beskrive de ulike regneartene, kvadratrot og kubikkrot.

På 1200-tallet levde også Leonardo av Pisa, og det er fra ham man har fått kunnskapen om de såkalte fibonacci-tallene. Leonardo var godt kjent med den arabiske matematikken, og han er blant annet kjent for å ha brakt arabernes algebra til Europa. Han var også den første av de italienske regnemestrene (maestri d'abbaco), som blant annet underviste handelsfolk i regning. På denne tiden skjer en forsiktig oppblomstring av matematikken i Europa.

[rediger] Gjennombruddet i Europa

Den matematiske tradisjonen ble gjennopptatt i Europa etter Middelalderen. Dette ble i stor grad gjort mulig av Adelards oversettelser fra 1100-tallet av arabiske verk til latin. Utviklingen skjøt fart i 1500-tallets Italia, da blant andre Girolamo Cardano leverte viktige bidrag til utviklingen av algebra og løsing av ligninger. De italienske fremgangene førte til økt entusiasme for forsking i matematikk, og dette spredde seg til resten av Europa. René Descartes tillempet algebraen til geometriske problem, og Pierre de Fermat og Blaise Pascal var sentrale i utviklingen av sannsynlighetsregningen.

Matematikken fikk en betydelig rolle i sammenheng med den vitenskapelige revolusjonen som startet omkring 1600, da Johannes Kepler og Galileo Galilei anvendte matematiske sammenhenger for å beskrive fysiske fenomen. Den skotske matematikeren Lord Napier var den første som utforsket naturlige logaritmer. På 1600-tallet ble også grunnlaget for den matematiske analysen lagt. Dette dreier seg om forholdet mellom størrelser som gjennomgår forandring, og det er et viktig problemløsingsverktøy innenfor andre grener av vitenskapen og teknikk. Analysen ble grunnlagt av Leibniz og Newton, som gjorde viktige fremskritt uavhengig av hverandre. Newton brukte siden analysen for å formulere den klassiske mekanikken.

Parallelt med matematikkens økende anvendelser ble den også utviklet stadig mer i abstrakt retning. På 1700-tallet og 1800-tallet skjedde en nærmest eksplosjonsartet vekst av matematisk kunnskap. Det var på denne tiden nye områder som topologi, analytisk tallteori og analytisk geometri ble utviklet.

[rediger] Moderne utvikling

[rediger] 1700-tallet

Kunnskapen om de naturlige tallene: 1, 2, 3, ... er eldre enn noen skrevne tekster, og de tidligste sivilisasjoner i Mesopotamia, Egypt, India og Kina kjente til regning med disse tallene (aritmetikk). En måte å se på utviklingen av de ulike tallsystemene i moderne matematikk er å se på hvordan nye tall blir studert for å finne svar på spørsmål knyttet til regning med de gamle tallene. I tidligere tider ga brøker (rasjonale tall) svaret på spørsmål av typen: Hvilket tall er det som multiplisert med 3 gir svaret 1? I India og Kina, og mye senere i Tyskland, ble negative tall utviklet for å gi svaret på spørsmålet: Hva får du når du trekker et stort tall fra et som er mindre? Nullen ble funnet opp på bakgrunn av et lignende spørsmål: Hva får du når du trekker et tall fra seg selv?

Et annet naturlig spørsmål er hva slags tall kvadratroten av to er. Grekerne visste at dette ikke var en brøk, men et bedre svar på spørsmålet kom da irrasjonale tall ble funnet opp. De ble utviklet av John Napier og senere videreutviklet av Simon Stevin. Ved å bruke desimaler og en ide knyttet til grensebegrepet, studerte Napier en ny konstant. Denne konstanten ga Leonhard Euler senere navnet e.

Euler hadde stor innflytelse på standardiseringen av andre matematiske begrep og notasjoner. Han ga kvadratroten av minus 1 symbolet i, og han populariserte også bruken av den greske bokstaven π for å beskrive forholdet mellom sirkelens omkrets og dens diameter. Senere utviklet han følgende viktige identitet i matematikken:

[rediger] 1800-tallet

I løpet av 1800-tallet ble matematikken stadig mer abstrakt. I dette århundret levde en av tidenes største matematikere, Carl Friedrich Gauss, og også to av de største norske matematikerne: Niels Henrik Abel og Sophus Lie. Gauss leverte det første fullstendige beviset på algebraens fundamentalteorem, og både Abel og Lie ga flere viktige bidrag til algebraens utvikling.

En viktig oppdagelse på 1800-tallet var da Nikolaj Lobatjevskij og Janos Bolyai uavhengig av hverandre oppdaget den ikke-euklidske geometrien. I deres hyperbolske geometri krummer rommet slik at det finnes uendelig mange linjer gjennom et gitt punkt P som er parallelle med en gitt linje l. Bernhard Riemann, en av elevene til Gauss, leverte også et viktig bidrag til utviklingen av den ikke-euklidske geometrien. Hans utvidelse av differensialgeometrien har fått navnet Riemann-geometri. Her utvidet han den tradisjonelle differensialgeometrien til n dimensjoner. Den ikke-euklidske geometrien kom som en overraskelse, da man trodde at det bare fantes én geometri, nemlig den euklidske. Den euklidske geometrien er den som stemmer best overens med den menneskelige intuisjon, men paradoksalt nok viste Albert Einstein på starten av 1900-tallet gjennom sin relativitetsteori at det er den ikke-euklidske geometrien som beskriver virkeligheten.

I tillegg til nye retninger av matematikken, fikk matematikken et strengere logisk fundament. Dette skjedde blant annet innenfor matematisk analyse, hvor Augustin Louis Cauchy og Karl Weierstrass leverte viktige bidrag på dette området.

På 1800-tallet ble også en ny retning innen algebra utviklet, nemlig boolsk algebra. Den ble utviklet av den engelske matematikeren George Boole. I boolsk algebra kan variablene kun ha to tilstander eller verdier. Enten er de sanne med verdien 1, eller de er usanne med verdien 0. Boolsk algebra fikk stor betydning i det 20. århundre, og det er denne matematikken som blir brukt i moderne datamaskiner.

Matematikkens begrensning ble også utforsket på 1800-tallet. Niels Henrik Abel ga det endelige beviset for at ligninger av høyere grad enn fire ikke kan løses med vanlige algebraiske metoder. Andre matematikere på denne tiden viste at passer og linjal ikke er nok for å tredele en tilfeldig vinkel, og heller ikke for å konstruere et kvadrat med samme areal som en gitt sirkel. Dette var to problemer som matematikere hadde forsøkt å løse siden antikken.

Oppdagelsene til Abel og Galois la videre grunnlaget for utviklingen av gruppeteori og abstrakt algebra. På 1900-tallet har fysikere og andre vitenskapsmenn oppdaget at gruppeteori er en ideell måte å studere symmetri.

[rediger] 1900-tallet

I løpet av 1900-tallet har matematikken utviklet seg stadig videre. Matematikere er ettertraktet innen mange områder, både innenfor undervisningssektoren og i industri og næringsliv. Årlig blir det delt ut hundrevis av doktorgrader i matematikk og fagfeltet har vokst med slik fart at det er svært vanskelig å holde oversikten.

På bakgrunn av de foregående århundrenes fremskritt forsøkte matematikerne tidlig på 1900-tallet å gjennomføre en fullstendig formalisering av matematikken. Målet var å utlede alle matematiske sannheter ved hjelp av enkle og veldefinerte logiske regler, og eventuelt finne en metode for å utlede matematiske sannheter «mekanisk». En av lederne for dette arbeidet var David Hilbert, som var en av de fremste matematikerne på denne tiden. Han presenterte et program for å videreutvikle og formalisere matematikken. Han ønsket å konstruere et matematisk system basert på noen grunnleggende aksiomer. Ved hjelp av dette systemet skulle alle setninger og problemer i matematikken kunne bevises, og systemet skulle være konsistent. Hvis en beviste at en setning var sann med én metode, skulle en altså ikke kunne finne en annen metode som beviste at den samme setningen var usann. Dette arbeidet samlet flere av de fremste matematikerne i første del av 1900-tallet.

Gottlob Frege viet mange år av sin yrkesaktive karriere til å formulere grunnreglene for aritmetikken med basis i mengdelæren. Like før han skulle gi ut sitt store verk, oppdaget den britiske matematikeren og filosofen Bertrand Russell en inkonsistens i Freges system. Denne inkonsistensen har fått navnet Russells paradoks, og den representerte en alvorlig fare for drømmen om et fullkomment matematisk system.

I 1931 snudde Kurt Gödel hele det rådende matematiske verdensbildet på hodet ved å bevise at ethvert formelt system enten er utilstrekkelig eller fører til selvmotsigelser.^[16] Dette medfører ikke at de matematiske setningene som allerede er bevist blir ugyldige, men Gödels oppdagelse viser at det er enkelte setninger og problemer som ikke kan bevises i matematikken. Som en følge av dette begynte matematikere å forsøke å finne ut hvilke setninger som ikke kunne bevises, og lenge trodde man at Fermats siste setning var et slikt uløselig problem. Da den britisk-amerikanske matematikeren Andrew Wiles i 1995 presenterte et bevis på dette 350 år gamle problemet, var det et av århundrets aller viktigste resultater i matematikken.

Under 2. verdenskrig fikk matematikerne en viktig rolle som kodeknekkere. Et av de mest kjente navnene i denne forbindelsen var Alan Turing. En periode var han leder for Det britiske sjøforsvarets Enigmaseksjon ved Bletchley Park. Her jobbet en gruppe dyktige matematikere for å knekke kodene på de tyske meldingene. Tyskerne hadde utviklet en avansert elektromagnetisk krypteringsmaskin, kalt Enigma, som de brukte for å kode meldinger de sendte. Den innsatsen Turing og hans gruppe gjorde for å knekke disse kodene spilte en viktig rolle for krigens utvikling. Turing var også med på å konstruere en av de første programmerbare datamaskinene.

I 1944 lanserte John von Neumann begrepet spillteori. Her brukte han matematikken som redskap for å analysere strukturen i ulike spill, og hvordan mennsker spiller disse spillene. Matematisk spillteori ble et viktig verktøy i forbindelse med militære strategier i den kalde krigen.^[17]

På 1900-tallet fikk matematikken nye anvendelser i og med datamaskinenes inntog, og i dag er den matematiske vitenskapen så omfattende og raskt voksende at ingen matematiker kan ha inngående kjennskap til alle delene. Årlig publiseres et hundretusentalls artikler med nye matematiske resultater.

[rediger] Norsk matematikkhistorie

Den matematiske oppvåkningen i Europa kom lenge etter blomstringstiden i andre deler av verden, og norsk matematikk har en enda kortere historie. I middelalderen skrev Haukr Erlendsson Hauksbok. Denne boken hadde en liten del om regnekunst, som het Algorismus. Her finner man blant annet en forklaring på posisjonssystemet, og boka har også en beskrivelse av syv regnearter: legge til, trekke fra, fordoble, halvere, multiplisere, dele og trekke ut roten.

Caspar Wessel (1745–1818) blir ofte regnet som den første norske matematiker. Wessel var landmåler av yrke, og han var med på å kartlegge Danmark. Gjennom denne kartleggingen fant han opp sine egne metoder som var langt mer effektive enn de gamle. Han jobbet blant annet mye med vektorer, og han er blant de aller første som adderte vektorer. I 1798 publiserte han en avhandling med tittelen Om direktionenes analytiske betegning, et forsøg anvendt fornemmelig til plane og sfæriske polygoners opløsning. Her gir han blant annet en geometrisk beskrivelse av de komplekse tallene, før både Gauss og Argand gjorde det. Arbeidet hans ble ikke oversatt, men hvis det hadde blitt gjort ville han nok blitt regnet blant de største matematikerne i Europa på den tiden.

[rediger] De to store

Etter Wessel fulgte noen av tidenes største norske matematikere. Først ute var Niels Henrik Abel. Abel var født på Finnøy og oppvokst i Gjerstad, men det var først da han begynte på katedralskolen i Christiania og fikk Bernt Michael Holmboe til lærer at hans matematiske talent begynte å blomstre. Snart hadde Abel gått forbi alle sine lærere i Norge, og han måtte reise utenlands for å lære mer. På en reise i Europa ble Abel kjent med den tyske ingeniøren August Leopold Crelle. Crelle hadde lenge ønsket å starte et matematisk tidsskrift som kunne ta kampen opp med de franske, og etter hvert startet han Journal für die reine und angewandte Mathematik. Her publiserte Abel de fleste av sine arbeider. Abel leverte viktige bidrag til matematikken på flere områder, men han er nok mest kjent for sin ligningsteori, teorien om elliptiske funksjoner og arbeidene om uendelige rekker.

Etter Abel fulgte en annen stor norsk matematiker: Sophus Lie (1842–1899). Lie var høyt ansett i Europa, og han arbeidet blant annet i Berlin, Göttingen og Paris. I Göttingen samarbeidet han med Felix Klein. I 1886 ble Lie utnevnt til professor i matematikk i Leipzig. Lie skapte et helt nytt matematisk begrep, som i dag går under betegnelsen Lie-grupper, og han leverte flere viktige bidrag til utviklingen av algebra. Samtidig med Sophus Lie levde og virket også Ludvig Sylow. Også han leverte viktige bidrag til gruppeteorien, og de såkalte Sylow-teoremene er oppkalt etter ham. Sylow ble tidlig anerkjent i utlandet, men her hjemme forble han lenge anonym. Da han var ferdig med studiene var det ingen stilling til ham ved Universitetet i Oslo, så han fikk jobb som overlærer i Halden i stedet. Her ble han værende i 40 år. I 1898 ble han utnevnt til ekstraordinær professor ved universitetet, og han underviste her fram til han var nesten 85 år.

Elling Holst (1849–1915) var elev av Sophus Lie, og han studerte geometri under Felix Klein. Holst arbeidet mye med skolematematikken, og han var kjent som en dyktig lærer. Hans doktoravhandling fra 1882 hadde tittelen Et par syntetiske methoder, især til brug ved studiet af metriske egenskaber.

[rediger] Organiseringen av norsk matematikk

På begynnelsen av 1900-tallet hadde det matematiske miljøet i Norge blitt sterkt, og det oppsto et behov for en samlende organisasjon. I 1918 ble Norsk matematisk forening dannet, og Carl Størmer ble valgt som foreningens første formann. En annen markant matematiker på denne tiden var Thoralf Skolem (1887–1963). Han var også en sentral person i Norsk matematisk forening, han var redaktør for Norsk matematisk tidsskrift, og i 1953 var han med og grunnla tidsskriftet Mathematica Scandinavica.

En av de aller mest markante norske matematikerne i vår tid er nok Atle Selberg. Han er blant annet kjent for sine arbeider innenfor analytisk tallteori, og han regnes som en av de fremste tallteoretikerne gjennom alle tider. I 1950-årene jobbet han med å introdusere spektralteori i tallteorien, og resultatet av dette arbeidet finnes i den såkalte Selbergs sporformel, som er hans mest anerkjente arbeide. I 1950 fikk Selberg den prestisjetunge Fieldsmedaljen, og i 1986 fikk han Wolfprisen i matematikk.

I forbindelse med Abels 200-årsjubileum i 2002 ble Abelprisen opprettet. En slik pris ble foreslått allerede av Sophus Lie, da det ble kjent at Nobelprisen ikke skulle deles ut i matematikk. Da Abelprisen første gang ble delt ut i 2003, ble dette etter manges mening den viktigste prisen i matematikk.

[rediger] Referanser

1. ^ Katz, 1998, s. 4
2. ^ Bekken, 1984
3. ^ Katz, 1998, s. 244–249
4. ^ Holme, 2001, s. 66
5. ^ Holme, 2001, s. 76
6. ^ Holme, 2001, s. 3
7. ^ Holme, 2001, s. 39
8. ^ Holme, 2001, s. 42
9. ^ Wilkinson, 2000, s. 670
10. ^ Denne forklaringen ble gjort kjent av sinologen Joseph Needham i verket Science and civilisation in China, og er fortsatt den hyppigst refererte
11. ^ Katz, 1998, s. 48
12. ^ Holme, 2001, s. 196.
13. ^ Holme, 2001, s. 258
14. ^ Holme, 2001, 294
15. ^ Holme, 2001, s. 321
16. ^ Katz, 1998, s. 806
17. ^ Singh, 1998, s. 191

[rediger] Litteratur

• Bekken, O.B.:  Tallsystemets røtter, Matematikk i utvikling bok 1. Kristiansand, Agder distriktshøgskole, fagseksjonen for matematikk, skrifter: 6. (ukjent årstall)
• Brun, V.:  Regnekunsten i det gamle Norge: fra Arilds tid til Abel . Oslo, Universitetsforlaget. (1962)
• Brun, V.:  Alt er tall: matematikkens historie i oldtid og middelalder. Oslo, Universitetsforlaget. (1964)
• Gjone, G.:  Matematikkhistorie i miniatyr. Bergen, Caspar. (1996) ISBN 82-90898-11-8
• Holme, Audun:  Matematikkens historie: Fra Babylon til mordet på Hypatia. Bergen, Fagbokforlaget. (2001) ISBN 82-7674-678-0
• Holme, Audun:  Matematikkens historie 2: Fra de arabiske vise til Niels Henrik Abel. Bergen, Fagbokforlaget. (2004) ISBN 82-7674-814-7
• Ifrah, G.:  All verdens tall: tallenes kulturhistorie. Oslo, Pax. (1997) ISBN 82-530-1887-8
• Katz, Victor J.:  A history of mathematics: an introduction. Reading, Mass., Addison-Wesley Longman. (1998) ISBN 0-321-01618-1
• McLeish, J.:  Matematikens kulturhistoria. Stockholm, Forum. (1992) ISBN 91-37-10200-1
• Pengelly, D. og Laubenbacher, R.:  Mathematical expeditions: chronicles by the explorers. New York, Springer. (1999) ISBN 0-387-98434-8
• Sing, Simon:  Fermats siste sats – historien om gåten som forfulgte verdens skarpeste hjerner i 358 år. Oslo, Aschehoug. (1998) ISBN 82-03-20840-1
• Thorvaldsen, S.:  Matematisk kulturhistorie : artikkelsamling. Tromsø, Høgskolen i Tromsø Eureka forl.. (2002) ISBN 82-7389-045-7
• Wilkinson, E.:  Chinese history: a manual. Cambridge, Mass., The Harvard University Asia Center for the Harvard-Yenching Institute. (2000) ISBN 0-674-00247-4

[rediger] Eksterne lenker

• Thorvaldsen, S.: Krydder og krutt fra matematikkens historie
• Lenkeside fra The British Society for the History of Mathematics
• MacTutor History of Mathematics archive
• Index of Ancient Greek mathematics
• Index of Arab/Islamic mathematics
• Hauksbok
• Sletsjøe, A.B.: Matematikk i et nøtteskall