Trigonometria

De Viquipèdia

La trigonometria (del Grec: "la mesura de triangles") és una branca de les matemàtiques que tracta les relacions internes dels triangles. Té relació directa amb la geometria, sent una de les bases de la geometria analítica. Les magnituds essencials que s'utilitzen son la distància i l'angle.

Té moltes aplicacions: la tècnica de la triangulació s'usa en astronomia per a mesurar la distància a estels propers, en topografia per a fer mapes i en sistemes de navegació per satèl·lit.

Taula de continguts

1 Relacions d'un triangle rectangle
2 Relació fonamental de la trigonometria
3 Relacions aplicades a qualsevol triangle

[edita] Relacions d'un triangle rectangle

El triangle rectangle és el més important quan s'estudia trigonometria. Totes les funcions trigonomètriques provenen de les relacions internes d'aquest triangle. Cal recordar que els angles es poden mesurar tant en graus com en radians, i per tant s'han de fer totes les operacions tenint en compte aquesta dada.

Donat el següent triangle,

on ca i cb són els catets, h és la hipotenusa, $\alpha \$ és l'angle oposat a ca i $\beta \$ és l'angle oposat a cb, es defineixen les següents relacions:

Teorema de Pitàgores

$C_a^2+C_b^2=h^2 \$

Suma d'angles complementaris

$\alpha+\beta=90 \deg=\frac{\pi}{2} \mathrm{rad}$

funció sinus

$\sin{\alpha}=\frac{c_a}{h}$

funció cosinus

$\cos{\alpha}=\frac{c_b}{h}$

funció tangent

$\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{c_a}{c_b}$

La importància de les funcions sinus, cosinus i tangent es que per raons de proporcionalitat, la mida del triangle no influeix en aquestes relacions, i per tant el resultat només depèn del valor de l'angle. Aquestes relacions es guarden en taules trigonomètriques, i qualsevol calculadora científica pot generar els valors d'aquestes funcions.

Altres relacions que s'utilitzen són:

secant: sec=1/cos
cosecant: csc=1/sin
cotangent: cot=cos/sin

A vegades s'expressen aquestes relacions com $cos - 1,sin - 1,tan - 1$ , pel fet de que són les inverses d'aquestes funcions.

També s'utilitza amb freqüència les funcions arcsinus,arcosinus i arctangent. Donen l'angle que ha produït el resultat de les funcions sinus, cosinus i tangent.

sin 30 = 0.5 => asn 0.5 = 30
cos 30 = 0.866 => acs 0.866 = 30
tan 30 = 0.577 => atn 0.577 = 30

A les calculadores científiques existeix una mica d'embolic a l'hora de ficar aquestes funcions. Les funcions sec, csc i cot es calculen polsant [sin][x^-1], [cos][x^-1] i [tan][x^-1] respectivament. Les funcions asn, acs i atn es calculen polsant les tecles [sin^-1], [cos^-1] i [tan^-1], que no s'han de confondre amb les anteriors.

[edita] Relació fonamental de la trigonometria

A partir del teorema de Pitàgores:

$C_a^2+C_b^2=h^2 \$

Si dividim per $h^2 \$ a tots dos termes es conserva la igualtat, de manera que:

$\frac{C_a^2}{h^2}+\frac{C_b^2}{h^2}=\frac{h^2}{h^2}$

$\left(\frac{C_a}{h}\right)^2+ \left(\frac{C_b}{h}\right)^2=1$

Aquesta relació és important perque relaciona el cosinus i el sinus d'un angle. Per això s'anomena la relació fonamental de la trigonometria.

[edita] Relacions aplicades a qualsevol triangle

Les funcions del triangle rectangle, es poden utilitzar per trobar relacions a qualsevol triangle. Si anomenem a,b i c els costats d'un triangle, i $\alpha ,\beta, \gamma \$ els angles oposats a aquests costats, existeixen els següents teoremes: