Schallgeschwindigkeit

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Schallgrößen

Die Schallgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium (üblicherweise in Luft) ausbreiten. Es ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des hörbaren Schalls, die nicht mit der Schallschnelle v zu verwechseln ist. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Die Schallgeschwindigkeit wird in der Regel mit c = 343 m/s (1235 km/h) für 20 °C in Luft angegeben.

Für die Schallgeschwindigkeit c (für lat. celeritas = Geschwindigkeit) gilt die Formel

$c = \lambda \cdot f$ ,

wobei λ (lambda) die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern
2 Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten
3 Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen
4 Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien
5 Temperaturabhängigkeit
6 Frequenzabhängigkeit
7 Sonstiges
8 Siehe auch
9 Literatur
10 Weblinks

[Bearbeiten] Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl in longitudinaler (hierbei ist die Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung) als auch in transversaler Richtung (hierbei ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $ρ$ , der Poissonzahl $μ$ und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Es gilt dabei

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper, longitudinal}} = \sqrt{E \, ( 1- \mu) \over \rho \, ( 1- \mu - 2 \mu^2) }$

und

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}} = \sqrt{E \over {2 \cdot \rho \, \cdot ( 1+ \mu)} }$

sowie

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper, Oberflaeche}} \approx 0,9194 \cdot c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}}$

Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann die Querkontraktion vernachlässigt werden und man erhält

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper (langer Stab), longitudinal}} = \sqrt{E \over \rho}$ .

Für Transversalwellen muss der Elastizitätsmodul durch den Schubmodul $G$ ersetzt werden

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper, transversal}} = \sqrt{G \over \rho}$ .

[Bearbeiten] Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu Festkörpern können sich in Flüssigkeiten nur Longitudinalwellen ausbreiten, da der Schubmodul für Flüssigkeiten gleich Null ist. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $ρ$ und des Kompressionsmoduls $K$ der Flüssigkeit und berechnet sich aus

$c_{\mathrm{Fl\ddot ussigkeit}} = \sqrt{K \over \rho}$ .

Dies gilt nur im statischen Zustand einer Flüssigkeit. Sollte sich diese bewegen, so kommt es zu Laufzeitdifferenzen.

Die Auswirkungen dieser Gleichung können mit dem Cappuccino-Effekt demonstriert werden. Rührt man aufgeschäumte Milch in Kaffee und klopft dann mit dem Löffel mehrmals in kurzen Abständen auf den Boden der Tasse, verändert sich der Klang. Mit dem Unterrühren des Milchschaums werden die Klopfgeräusche zuerst tiefer und danach höher, da sich mit der zuerst im Schaum eingeschlossenen und dann langsam entweichenden Luft der Kompressionsmodul des Kaffees verändert.

[Bearbeiten] Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen

Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponent κ (kappa), der Dichte ρ (rho) sowie dem Druck p des Gases oder alternativ nach der thermischen Zustandsgleichung von der molaren Masse M und der absoluten Temperatur T (gemessen in Kelvin) und berechnet sich aus

$c_{\mathrm{Gas}} = \sqrt{ \kappa \frac{p}{\rho} } = \sqrt{ \kappa \frac{RT}{M} }$ .

Der Adiabatenexponent κ (kappa) = c_p/c_V hängt auch für die meisten realen Gase über weite Temperaturbereiche nicht vom Druck p ab, die molare Masse ist eine materialspezifische und die universelle Gaskonstante R = 8,3145 J/(mol K) eine physikalische Konstante. Deshalb hängt die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Wurzel der (absoluten) Temperatur ab.

Für Luft erhält man mit M = 0,02896 kg/mol und κ = 1,402:

$c_{\mathrm{Luft}} \approx \sqrt{ 1{,}402 \frac{ 8{,}3145\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}} T } { 0{,}02896\,\mathrm{kg/mol} } } = 20{,}055 \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{\frac{T}{\mathrm{K}}}$

Geht man zur Temperatur $\vartheta=T-273{,}15\,\mathrm{K}$ in °C über, so ergibt sich weiter:

$c_{\mathrm{Luft}} \approx 331{,}5 \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{ 1 + \frac{\vartheta/{}^\circ\mathrm{C}}{273{,}15} }$

Mit dieser Gleichung beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 25 °C etwa 346 m/s. Allgemeiner bekannt ist der Wert c = 343 m/s für 20 °C (Raumtemperatur).

Statt der Wurzelabhängkeit wird häufig folgende lineare Näherungsformel verwendet:

$c_{\mathrm{Luft}} \approx ( 331{,}5 + 0{,}6\,\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} ) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Diese Näherung gilt im Temperaturbereich von -20°C bis +40°C mit einer Genauigkeit von besser als 0,2%.

Die Luftfeuchtigkeit beeinflusst geringfügig die Schallgeschwindigkeit und auch der oft unrichtig angegebene statische Schalldruck tut es nicht (Ausnahmen sind Schallwellen von sehr großer Amplitude sowie Stoßwellen). Sehr bedeutsam ist dagegen die Temperatur. Der Schall wandert innerhalb der Troposphäre langsamer mit steigender Höhe, was aber fast ausschließlich eine Funktion der Temperatur und nur in geringem Maße auch eine der Luftfeuchte ist. Siehe auch Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound ^[1]

Vergleiche hierzu die Normalbedingungen und die Standardbedingungen. Normalerweise wird die Schallgeschwindigkeit unter Standardatmosphäre gemessen.

Bei einem idealen Gas ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig und unabhängig vom Luftdruck. Diese Abhängigkeit gilt daher auch für Luft, die in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden kann.

Der Faktor kappa kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung. Die gilt dann wenn bei einem Prozess die Temperatur nicht konstant bleibt (also nicht isotherm). Das ist bei einer Schallwelle der Fall. Die Luft wird in sehr kurzer Zeit komprimiert und expandiert wieder schnell. Die erhöhte Temperatur kann so schnell nicht abgeführt werden. Anfänglich wurde der Fehler gemacht und ohne das kappa gerechnet. So entstand eine stark abweichende Schallgeschwindigkeit.

[Bearbeiten] Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Für alle Materialien angegeben ist die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Schallgeschwindigkeit longitudinal). Wo Werte bekannt sind, findet man zusätzlich die Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Schallgeschwindigkeit transversal); die dazu gehörende Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus.

Medium	Schallgeschwindigkeit longitudinal in (m/s)	Schallgeschwindigkeit transversal in (m/s)
Luft (bei 20 °C)	343 (*)
Helium	981
Wasserstoff	1280
Sauerstoff	316
Wasser	1484
Wasser (bei 0 °C)	1407
Eis (bei -4 °C)	3250
Öl(SAE 20/30)	1740
Glas	5300
PVC (weich)	80
PVC (hart)	2250	1060
Beton (C20/25)	3655	2240
Beton (C30/37)	3845	2355
Buchenholz	3300
Aluminium	6300	3080
Beryllium	12900	8880
Blei/5%Antimon	2160	700
Gold	3240	1280
Kupfer	4660	2260
Magnesium/Zk60	4400	810
Quecksilber	1450
Stahl	5920	3255
Titan	6100	3050
Wolfram	5460	5460
Eisen	5170
Bor	16200
Diamant	18000

(*) entspricht 1234,8 km/h.

Diamant besitzt mit etwa 18000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller Materialien.

[Bearbeiten] Temperaturabhängigkeit

Allgemein ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit folgende Abhängigkeit von der Temperatur $\vartheta_{0}[K]$ .

$c=c_{{0}}\sqrt {{\frac {\vartheta}{\vartheta_{{0}}}}}$

Dabei stellt c₀ [in m/s] die Geschwindigkeit bei $\vartheta_{0} = 273 K$ dar und c [in m/s] die Schallgewindigkeit bei $\vartheta[K]$ .

Die Temperaturabhängigkeit ergibt sich durch sehr große Dichtegradienten und Geschwindigkeitsänderungen bei den erzeugten Wellen. Denn dadurch sind die Näherungen des hydrodynamischen Grundgesetztes nicht mehr erfüllt.

Somit ergibt sich beispielsweise folgende Tabelle für Luft mit c₀ = 331,5 m/s. Hierbei hat der Luftdruck keine Wirkung auf die Schallgeschwindigkeit, auch wenn diese Fehlangabe häufig zu finden ist.

Schallkennimpedanz, Luftdichte und Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur
Temperatur ϑ in °C	Schallgeschwindigkeit c in m/s	Dichte ρ in kg/m³	Kennimpedanz Z_F in Ns/m³
-10	325,4	1,341	436,5
-5	328,5	1,316	432,4
0	331,5	1,293	428,3
5	334,5	1,269	424,5
10	337,5	1,247	420,7
15	340,5	1,225	417,0
20	343,4	1,204	413,5
25	346,3	1,184	410,0
30	349,2	1,164	406,6

[Bearbeiten] Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Wasser ist ein Beispiel eines dispersiven Mediums.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Luft ist ein nicht dispersives Medium.

[Bearbeiten] Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach verwendet, wobei 1 Mach gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Siehe auch: Überschallgeschwindigkeit, Überschallflug.

Die Entfernung eines Blitzeinschlags, und damit auch eines Gewitters lässt sich abschätzen, indem man nach dem Sehen des Blitzes bis zum Hören des Donners die Sekunden zählt. Die Anzahl der Sekunden durch drei geteilt ergibt (aufgrund einer abgerundeten Schallgeschwindigkeit von c = 333 m/s) ungefähr die Entfernung des Gewitters in Kilometern.

[Bearbeiten] Siehe auch

Wiktionary: Schallgeschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme und Übersetzungen

[Bearbeiten] Literatur

↑ Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound, Journal of the Audio Engineering Society, 36(4), April 1988. PDF-Version

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/c/h/Schallgeschwindigkeit.html“

Kategorien: Schall | Strömungslehre