מרחב נורמלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בטופולוגיה, נורמליות ותכונת $\ T_4$ הן דוגמאות לסוג חזק יחסית של תכונות הפרדה. מרחב נורמלי הוא מרחב טופולוגי המפריד בין קבוצות סגורות זרות, באמצעות סביבות פתוחות. מרחב נורמלי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב $\ T_4$ .

מרחב טופולוגי הוא נורמלי, אם לכל שתי קבוצות זרות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות המכילות אחת את A ואחת את B. תכונה זו נקראת 'הפרדה בין קבוצות סגורות בקבוצות פתוחות'. ניסוח שקול: לכל קבוצה סגורה F וקבוצה פתוחה G כך ש $\ F \subset G$ , קיימת קבוצה פתוחה V שעבורה $\ F \subset V \subset \overline{V} \subset G$ .

כל מרחב $\ T_4$ הוא מרחב T3, שבו אפשר להפריד באמצעות קבוצות פתוחות בין קבוצה סגורה לנקודה, ולכן גם מרחב האוסדורף, שבו אפשר להפריד בין נקודות.

הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי אפשר להפריד בין קבוצות סגורות וזרות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה מן המרחב לקטע היחידה [0,1], כך ש- $\ f(A)=0$ ו- $\ f(B)=1$ . מכאן נובע שמרחב $\ T_4$ הוא מרחב טיכונוף (הקרוי גם מרחב $\ T_{3\frac{1}{2}}$ ), ובפרט מרחב רגולרי לחלוטין.

את הלמה של אוריסון ניתן לראות כאילו היא מאפשרת להרחיב את הפונקציה המקבלת את הערך 0 בקבוצה A ואת הערך 1 בקבוצה B, לפונקציה רציפה המוגדרת על כל המרחב. משפט טיטצה מהווה הכללה של למה זו, בכך שהוא מאפשר להרחיב כל פונקציה רציפה: אם M קבוצה סגורה במרחב נורמלי, אז לכל פונקציה רציפה $\ f: M \to [0,1] \ \mbox{or} \ \mathbb{R}$ קיימת $\ \phi : X \to [0,1] \ \mbox{or} \ \mathbb{R}$ כך ש $\ \forall x \in M : \phi (x) = f(x)$ .

כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב $\ T_4$ . חשיבותם הרבה של מרחבי $\ T_4$ נובעת מן המשפט של אוריסון: כל מרחב $\ T_4$ המקיים את אקסיומת המנייה השניה, הוא מטריזבילי (כלומר: הטופולוגיה שלו מושרית על-ידי מטריקה מתאימה).

[עריכה] ראו גם

טופולוגיה קבוצתית

אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%A8/%D7%97/%D7%9E%D7%A8%D7%97%D7%91_%D7%A0%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%9C%D7%99.html

קטגוריה: טופולוגיה

מרחב נורמלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש