Aksjomaty i konstrukcje liczb

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Artykuł ten został zgłoszony jako kandydat do medalu. Weź udział w dyskusji na ten temat.

Zawieranie się zbiorów liczbowych w sobie. Symbol oznacza tu, że można skonstruować zbiór liczb tak, aby był podzbiorem zbioru . Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę liczb hiperzespolonych. Diagram nie obejmuje liczb kardynalnych, porządkowych i nadrzeczywistych (nie tworzą one zbiorów, lecz klasy) ani podzbiorów liczbowych nie tworzących struktur algebraicznych (jak liczby niewymierne). Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych - to nie jest pomyłka. Zobacz sekcję Liczby algebraiczne.

Zawieranie się zbiorów liczbowych w sobie. Symbol $\mathbb{X}\subset \mathbb{Y}$ oznacza tu, że można skonstruować zbiór liczb $\mathbb{X}$ tak, aby był podzbiorem zbioru $\mathbb{Y}$ . Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę liczb hiperzespolonych. Diagram nie obejmuje liczb kardynalnych, porządkowych i nadrzeczywistych (nie tworzą one zbiorów, lecz klasy) ani podzbiorów liczbowych nie tworzących struktur algebraicznych (jak liczby niewymierne). Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych - to nie jest pomyłka. Zobacz sekcję Liczby algebraiczne.

Liczby należą do podstawowych pojęć matematycznych. Najprostsze rodzaje liczb, jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej jednostki miary (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako identyfikatory, np. numery telefonów, dróg, PESEL, ISBN.

Liczby zdają się być tak podstawowym i intuicyjnym pojęciem, że przez wieki w ogóle nie były definiowane. Dopiero wraz z rozwojem teorii mnogości i logiki matematycznej poszczególne rodzaje liczb zostały formalnie określone.

Nie ma jednak wspólnej cechy, która odróżniałaby wszystkie obiekty zwane "liczbami" od elementów algebr, które tak nie są nazywane. To tylko tradycja. Matematycy nie definiują "liczb", definiują "liczby naturalne", "liczby całkowite", "liczby rzeczywiste", itp.^[1]

O ile jednak zaliczenie danej algebry do algebr liczbowych jest podyktowane bardziej tradycją niż ogólną definicją, to poszczególne rodzaje liczb są już ściśle określane. Głównymi metodami definiowania liczb są aksjomatyki i konstrukcje. Definicje liczb stanowią pewną sekwencję (bardziej złożone algebry opierają się na prostszych), którą prezentuje niniejszy artykuł.

Spis treści

1 Metody definiowania liczb
- 1.1 Izomorfizm konstrukcji
2 Liczby naturalne
3 Liczby całkowite
4 Liczby wymierne
- 4.1 Aksjomatyka liczb wymiernych
- 4.2 Konstrukcja liczb wymiernych
5 Liczby rzeczywiste
6 Liczby zespolone
7 Kwaterniony
- 7.1 Aksjomatyka kwaternionów
- 7.2 Konstrukcja kwaternionów
8 Oktoniony (oktawy Cayleya)
9 Sedeniony
10 Algebry Clifforda
11 Liczby p-adyczne
- 11.1 Aksjomatyka liczb p-adycznych
- 11.2 Konstrukcja liczb p-adycznych
12 Liczby kardynalne
13 Liczby porządkowe
14 Liczby nadrzeczywiste
15 Zobacz też
16 Bibliografia
17 Przypisy

[edytuj] Metody definiowania liczb

Liczby mogą być definiowane na trzy sposoby:

przez podanie aksjomatów, czyli właściwości jakie muszą spełniać dowolne obiekty matematyczne, aby były zaliczone do liczb określonego rodzaju.
przez stworzenie konstrukcji, czyli bezpośrednie utworzenie jakichś obiektów i nazwanie ich liczbami (jeśli dany rodzaj liczb posiada własną aksjomatykę, taka konstrukcja musi być modelem tej aksjomatyki, czyli wszystkie aksjomaty muszą być dla niej spełnione).
przez wydzielenie podzbioru z osobno zdefiniowanego szerszego zbioru liczb - jest to w zasadzie szczególny przypadek konstrukcji.

Wśród mnogości pojęć mających w nazwie słowo liczba można wyróżnić:

zbiory liczb tworzące nietrywialną algebrę - dodawanie i mnożenie dowolnych dwóch liczb z takiego zbioru jest działaniem wewnętrznym, czyli zawsze daje wyniki z tego zbioru. Należą do tej grupy wszystkie rodzaje liczb pokazane na ilustracji z początku artykułu. Liczby te są definiowane za pomocą aksjomatów opisujących własności działań na nich, lub za pomocą konstrukcji. Jeśli jakieś zbiory liczbowe tworzą algebrę i zawierają podzbiór również tworzący algebrę, to działania na liczbach z tego podzbioru muszą dawać w obydwu algebrach identyczne wyniki. W ten sposób każda kolejna algebra liczbowa rozszerza poprzednią.
podzbiory zbiorów liczbowych nie tworzące niezależnych algebr - są to zbiory liczb, wyróżnione ze względu na jakąś szczególną własność, np. liczby pierwsze, będące liczbami naturalnymi dzielącymi się tylko przez 1 i przez siebie. Są one definiowane przez podanie warunku, jaki muszą spełniać liczby z pewnej algebry.
liczby nie tworzące zbiorów, lecz klasy. Do tej grupy wchodzą liczby kardynalne, liczby porządkowe i liczby nadrzeczywiste. Okazuje się, że próba stworzenia zbioru tych liczb prowadzi do sprzeczności, można jedynie grupować je w tzw. klasy. Można dla nich również zdefiniować działania arytmetyczne i w pewnym sensie one także stanowią rozszerzenie algebry liczb naturalnych. Są definiowane wyłącznie przez konstrukcję.

Zbiory liczbowe tworzące algebrę są zawsze definiowane razem z podstawowymi działaniami na nich — dodawaniem i mnożeniem^[2]. Dopiero określenie zbioru wraz z działaniami, czyli tzw. struktury algebraicznej, stanowi dostateczną definicję. Nie wystarcza tu skonstruowanie samego zbioru, gdyż określając odpowiednio działania można sprawić, że np. zbiór liczb wymiernych będzie nieodróżnialny (izomorficzny) od zbioru liczb naturalnych.^[3]

[edytuj] Izomorfizm konstrukcji

Dowolny zbiór dowolnych obiektów, w którym zdefiniowane działania spełniają aksjomaty właściwe dla danej algebry liczbowej, czyli tzw. model jej aksjomatyki, można nazwać zbiorem liczb. Posiada on bowiem wówczas wszystkie właściwości, jakich oczekujemy po danym zbiorze liczbowym. Model aksjomatyki liczb nazywamy konstrukcją liczb.

Ponieważ dany zestaw aksjomatów może mieć wiele różnych modeli, liczby można skonstruować na wiele sposobów. Metody te są równoważne w tym sensie, że wszelkie twierdzenia udowodnione na liczbach skonstruowanych według jednej metody dają się bez zmian przenosić na inne konstrukcje (zachodzi tzw. izomorfizm). W praktyce więc, poza domeną teorii mnogości i logiki, nie ma potrzeby ich odróżniać.

Na ogół zaczyna się konstrukcję od liczb naturalnych, następnie buduje w oparciu o nie liczby całkowite, potem w oparciu o nie liczby wymierne, potem rzeczywiste i zespolone^[4]. W każdym z tych zbiorów są podzbiory, które przy tej samej definicji działań spełniają aksjomaty liczb zdefiniowanych wcześniej.

Przykładowo liczby wymierne mogą być skonstruowane jako zbiory par liczb całkowitych z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Wydawałoby się, że liczba całkowita zbiorem par liczb całkowitych być nie może, a więc liczby całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych. Ponieważ jednak podzbiór liczb wymiernych odpowiadający ułamkom a/1 ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem także spełnia aksjomaty liczb całkowitych, ostatecznie możemy więc stwierdzić, że liczby całkowite są jednak szczególnym przypadkiem wymiernych, a ich zbiór zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. Podobnie jest przy konstruowaniu kolejnych zbiorów liczbowych.

Można też wykonać konstrukcję od drugiej strony i najpierw skonstruować jakąś dostatecznie szeroką strukturę, np. liczby zespolone, a następnie zdefiniować pozostałe zbiory jako jej podzbiory z tymi samymi działaniami dodawania i mnożenia.

[edytuj] Liczby naturalne $\mathbb{N}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby naturalne.

[edytuj] Aksjomatyka Peano

Na początek załóżmy, że istnieje liczba 1 (cokolwiek by ten symbol nie miał oznaczać). Chcielibyśmy także dla każdej liczby $a$ móc pokazać jej tzw. następnik (oznaczymy go $S (a)$ ). Musimy zatem zagwarantować istnienie następnika liczby 1 (który oznaczymy 2), a także następników kolejnych następników. Następnik liczby 2 oznaczymy 3 itd. Jeśli dodatkowo założymy, że 1 nie jest następnikiem żadnej liczby i odpowiednio zdefiniujemy dodawanie i mnożenie, to tak skonstruowany zbiór możemy nazwać zbiorem liczb naturalnych.

Proces konstrukcji kolejnych elementów zbioru wygląda następująco:

$1\mapsto S(1)\mapsto S(S(1))\mapsto S(S(S(1)))\mapsto\dotsb$

Ściślej rzecz biorąc, zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez tzw. aksjomaty Peano (PA).^[5]

	Aksjomatyka Peano
1.	J jest liczbą naturalną.
2.	Dla każdej liczby naturalnej istnieje dokładnie jedna liczba naturalna, zwana jej następnikiem.
3.	J nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
4.	Jeśli dwie liczby naturalne mają równe następniki, to są sobie równe.
5.	Aksjomat indukcji: Niech dany będzie zbiór, którego elementami są liczby naturalne o następujących własnościach: a. J jest elementem tego zbioru b. Wraz z każdą liczbą naturalną należącą do tego zbioru, należy do niego także jej następnik. Wówczas zbiór ten zawiera wszystkie liczby naturalne.

Niektórzy matematycy zaliczają zero do liczb naturalnych, inni nie. Jest to wyłącznie kwestia nazewnictwa. Zarówno zbiór liczb naturalnych z zerem, jak i bez niego ma powyższe własności. W tym pierwszym przypadku J oznacza 0, w tym drugim 1.

Dla liczb naturalnych z zerem dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:

Pojęcie	Aksjomaty
Dodawanie	$a + 0 = a$ $a + S (b) = S (a + b)$
Mnożenie	$a \cdot 0 = 0$ $a \cdot (b+1) = a \cdot b + a$
Porządek liniowy	$a\le b$ istnieje takie naturalne $k$ , że $a + k = b$

[edytuj] Alternatywne aksjomatyki

Inną aksjomatyką jest podejście Kaye (1991). Kaye zakłada w nim, że zero należy do liczb naturalnych i definiuje od razu dodawanie, mnożenie i relację porządku:

	Aksjomatyka Kaye
1.	$\bigwedge_{x,y,z\in\mathbb{N}} (x+y)+z = x+(y+z)$
2.	$\bigwedge_{x,y\in\mathbb{N}} x+y=y+x$
3.	$\bigwedge_{x,y,z\in\mathbb{N}} (x\cdot y ) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
4.	$\bigwedge_{x,y\in\mathbb{N}} x\cdot y = y \cdot x$
5.	$\bigwedge_{x,y,z\in\mathbb{N}} x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$
6.	$\bigwedge_{x\in\mathbb{N}} (x + 0 = x \land x \cdot 0 = 0)$
7.	$\bigwedge_{x\in\mathbb{N}} x \cdot 1 = x$
8.	$\bigwedge_{x,y,z\in\mathbb{N}} ((x < y \land y < z) \Rightarrow x < z)$
9.	$\bigwedge_{x\in\mathbb{N}} \lnot (x < x)$
10.	$\bigwedge_{x,y\in\mathbb{N}} ( x < y \lor x = y \lor x > y )$
11.	$\bigwedge_{x,y,z\in\mathbb{N}} ( x < y \Rightarrow x + z < y + z )$
12.	$\bigwedge_{x,y,z\in\mathbb{N}} ( 0 < z \land x < y \Rightarrow x \cdot z < y \cdot z )$
13.	$\bigwedge_{x,y\in\mathbb{N}} ( x < y \Rightarrow \bigvee_{z\in\mathbb{N}} x + z = y )$
14.	$0 < 1 \land \bigwedge_{x\in\mathbb{N}} ( x > 0 \Rightarrow x \geq 1 )$
15.	$\bigwedge_{x\in\mathbb{N}} x \geq 0$

Istnieją też systemy aksjomatycznej teorii mnogości równoważne arytmetyce Peano (zob. w bibliografii Tarski, Givant 1987)

Udowodniono (twierdzenie Gödla o niezupełności), że dowolna aksjomatyka liczb naturalnych jest niezupełna, to znaczy dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które choć prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki nie da się uzupełnić skończoną liczbą aksjomatów tak, aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy spekulują, czy niektóre twierdzenia teorii liczb (np. hipoteza Goldbacha) nie są właśnie tymi prawdziwymi, lecz nie dającymi się udowodnić zdaniami.

[edytuj] Konstrukcja Fregego i Russella

Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella^[6] definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych. Relacja "dwa zbiory są równoliczne" pozwala na uporządkowanie zbiorów skończonych w klasy zbiorów o tej samej liczności^[7]. Klasy te nazywamy liczbami naturalnymi. Konstrukcja ta jest o tyle niewygodna, że tak skonstruowane obiekty są klasami a nie zbiorami, a klasy, jak się później okazało, nie mogą być elementami zbiorów, gdyż może to prowadzić do paradoksów (zobacz np. paradoks zbioru wszystkich zbiorów). W związku z tym we współczesnej matematyce używa się, zamiast niej, przedstawionej poniżej konstrukcji von Neumanna.

[edytuj] Konstrukcja von Neumanna

W teorii mnogości liczby naturalne konstruuje się w sposób zaproponowany przez Johna von Neumanna. W tym przypadku, zbiór pusty utożsamiamy z zerem, następnik zera - liczbę jeden - utożsamiamy ze zbiorem złożonym z zera (zbioru pustego) i ogólniej następnik każdej liczby jest zbiorem, którego elementami są wszystkie poprzednie liczby.

$0=\varnothing$ ,

$1=\{\varnothing\}$ ,

$2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ ,

$3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$ ,

$\;\vdots$

Jeśli przez $\mathbb{N}$ oznaczać zbiór liczb naturalnych, wówczas:

$\mathbb{N}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\ldots\}=\{0,1,2,3,\ldots\}$ .

W teorii mnogości, zbiór liczb naturalnych oznacza się jednak $ω$ (por. liczba porządkowa). Tak skonstruowany zbiór spełnia aksjomaty Peano.

[edytuj] Ważne podzbiory liczb naturalnych

liczby pierwsze - liczby naturalne $x$ większe od 1, których dzielnikami naturalnymi są tylko 1 oraz $x$ .
liczby bliźniacze - liczby pierwsze odległe od siebie o 2. Jednym z wielkich nierozwiązanych problemów teorii liczb jest pytanie, czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele.
liczby Fermata - liczby naturalne postaci $F_n=2^{2^n}+1$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną
liczby Mersenne'a - liczby określone wzorem $2 p - 1$ gdzie p jest liczbą pierwszą
liczby półpierwsze - posiadające dokładnie dwa dzielniki pierwsze
liczby Fibonacciego - elementy ciągu Fibonacciego
liczby doskonałe - liczby naturalne, które są sumą wszystkich swych dzielników właściwych.

[edytuj] Liczby całkowite $\mathbb{Z}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby całkowite.

[edytuj] Aksjomatyka liczb całkowitych

Aksjomaty liczb całkowitych tworzy się modyfikując aksjomatykę Peano przez wprowadzenie obok następnika, operacji poprzednika^[8].

	Aksjomatyka liczb całkowitych
1.	Istnieje liczba całkowita 0.
2.	Dla każdej liczby całkowitej $x$ istnieje dokładnie jedna liczba całkowita $S (x)$ , zwana jej następnikiem.
3.	Dla każdej liczby całkowitej $x$ istnieje liczba całkowita $P (x)$ , zwana jej poprzednikiem, taka, że $S (P (x)) = x$ .
4.	0 jest różne od wszystkich jego kolejnych następników.
5.	Aksjomat indukcji: Jeżeli M jest zbiorem liczb całkowitych, takim, że: a. M nie jest pusty b. dla każdej liczby całkowitej $x$ , $x \in M \Rightarrow P(x), S(x) \in M$ wtedy $M$ jest zbiorem liczb całkowitych.

Istnieją inne aksjomatyki liczb całkowitych^[9]

[edytuj] Konstrukcja liczb całkowitych

Nieściśle mówiąc, liczbę całkowitą można skonstruować jako zbiór wszystkich par liczb naturalnych, które dałyby ten sam wynik przy odejmowaniu.

Ściśle: zbiór liczb całkowitych konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności $\sim$ określonej na zbiorze par liczb naturalnych, zdefiniowanej następująco:

$(a,\;b)\sim (c,\;d)\Leftrightarrow a+d=b+c$ , gdzie $a,\;b,\;c,\;d\in\mathbb{N}$

Przykłady:

Liczba całkowita $2$ , to zbiór $\{(2,\;0),\;(3,\;1),\;(4,\;2),\;(5,\;3),\;\dots\;\}$ zawierający pary liczb naturalnych, których różnica wynosi 2.
Liczba całkowita $- 3$ , to zbiór $\{(0,\;3),\;(1,\;4),\;(2,\;5),\;(3,\;6),\;\dots\;\}$

Konstrukcja liczb całkowitych za pomocą liczb naturalnych. Każda liczba całkowita jest zbiorem par liczb naturalnych, które na diagramie są zaznaczone kółkami i leżą na jednej linii. Na rysunku założono, że zero należy do liczb naturalnych.

Definicje działań:

Pojęcie	Definicja
Dodawanie	$[(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(a+c,\; b+d)]$
Element neutralny dodawania	$[(0,\; 0)]$
Element przeciwny	$-[(a,\; b)]=[(-a,\; -b)]$
Iloczyn	$[(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac+bd,\;ad+bc)]$

gdzie $[(a,\;b)]$ oznacza klasę abstrakcji odpowiadającą $(a,\; b)$ .

Podzbiór liczb całkowitych dodatnich (czyli takich, że w należących do nich parach $(a,\;b)$ , $a > b$ ) lub ewentualnie nieujemnych (w analogiczny sposób $a \geq b$ ) z tak samo zdefiniowanymi działaniami spełnia aksjomaty Peano, a zatem jest kolejną konstrukcją liczb naturalnych. Można więc uznać tak skonstruowane liczby naturalne za podzbiór liczb całkowitych.

[edytuj] Ważne podzbiory liczb całkowitych

liczby naturalne
- zdefiniowane jako liczby całkowite dodatnie - liczby całkowite większe od zera
- zdefiniowane jako liczby całkowite nieujemne - liczby całkowite większe lub równe zeru
liczby całkowite ujemne - liczby całkowite mniejsze od zera
liczby całkowite niedodatnie - liczby całkowite mniejsze lub równe zeru

[edytuj] Liczby wymierne $\mathbb{Q}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby wymierne.

[edytuj] Aksjomatyka liczb wymiernych

Liczby wymierne, jako pierwszy z konstruowanych w tym artykule rodzajów liczb, pozwalają wykonywać bez przeszkód cztery podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. W języku algebry mówimy, że liczby wymierne tworzą ciało.

Ciało liczb wymiernych jest tzw. ciałem prostym, tzn. nie posiada podzbiorów będących ciałami (oprócz samego siebie). Istnieją inne ciała proste - ciała $\mathbb{Z}_p$ reszt z dzielenia przez liczby pierwsze $p$ . Okazuje się jednak, że oprócz liczb wymiernych i ciał reszt innych ciał prostych nie ma.^[8]

Zostało to wykorzystane do zaksjomatyzowania zbioru liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ :

$(\mathbb Q, +, \cdot, 0, 1)$ jest ciałem prostym.
Ciało liczb wymiernych nie jest izomorficzne (równoważne) z ciałem reszt $\mathbb{Z}_p$ dla żadnego $p$

Można udowodnić, że dowolny zbiór, spełniający te aksjomaty zawiera:

podzbiór $N$ spełniający aksjomaty liczb naturalnych: najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór spełniający warunek $0\in N \wedge (x\in N\Rightarrow x+1\in N)$
podzbiór $Z$ spełniający aksjomaty liczb całkowitych: najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór spełniający warunek $0\in Z \wedge (x\in Z\Rightarrow x-1,x+1\in Z)$

Tym samym możemy stwierdzić, że niezależnie od konstrukcji, liczby naturalne i liczby całkowite są szczególnymi przypadkami liczb wymiernych, a ich zbiory zawierają się w zbiorze liczb wymiernych.

[edytuj] Konstrukcja liczb wymiernych

Nieściśle mówiąc, liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich takich par, gdzie pierwszy element pary jest liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą^[10]

Ściśle: zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ konstruujemy jako przestrzeń ilorazową relacji równoważności $\backsim \subset \mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ określonej warunkiem:

$(p,r)\backsim (q,s)\Leftrightarrow p\cdot s=r\cdot q$ gdzie $p,q \in \mathbb{Z},r,s\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$

Czyli $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})/_{\backsim}$ .

Pojęcie	Definicja
Dodawanie	$[(a,\; b)] + [(c,\; d)] = [(ad+bc,\; bd)]$
Element neutralny dodawania	$[(0,\; 1)]$
Element przeciwny	$-[(a,\; b)]=[(-a,\; b)]$
Iloczyn	$[(a,\; b)] \cdot [(c,\; d)] = [(ac,\; bd)]$
Porządek	$[(a,\; b)] < [(c,\; d)] \Leftrightarrow ad<bc$ dla $b d > 0$

Konstrukcja zbioru liczb wymiernych. Liczby wymierne zaznaczone na czerwonej linii to zbiory par liczb całkowitych, zaznaczonych kolorowymi kółkami.

gdzie $[(a,\;b)]$ oznacza klasę abstrakcji zawierającą $(a,\; b)$ a znak $<$ oznacza relację porządku w zbiorze liczb całkowitych. Klasy $[(a,\;b)]$ zapisujemy w postaci $\frac{a}{b}$ i nazywamy często ilorazem liczb $a$ i $b$ . Gdy $b = 1$ , piszemy po prostu $\frac{a}{1}=a$ .

Przykłady:
Liczba wymierna $\frac{1}{2}$ , to zbiór $\{\dots,(-1,-2),(1,2),(2,4),(3,6),\dots\}$ zawierający pary liczb całkowitych.
Liczba wymierna $\frac{-3}{1}$ lub krócej $- 3$ , to zbiór $\{\dots,(-6,2),(-3,1),(3,-1),(6,-2),\dots\}$

[edytuj] Liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby rzeczywiste.

Najbardziej naturalnym przykładem (występującym w praktyce) liczby, nie będącej liczbą wymierną (powiemy później niewymiernej), jest długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym. Liczbę tę, $\sqrt{2}$ , możemy jedynie obustronnie przybliżać wyrazami pewnego ciągu liczb wymiernych, nie da się jednak przedstawić jej przy pomocy stosunku liczb całkowitych. Innymi przykładami liczb o takiej własności są stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy, π, oraz podstawa logarytmu naturalnego, e.

Klasycznie, istnieją trzy podejścia do formalnej definicji zbioru liczb rzeczywistych: Pierwszy z nich to definicja aksjomatyczna, drugi - przy pomocy tzw. przekrojów Dedekinda, trzeci - za pomocą tzw. ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych.

[edytuj] Aksjomatyka liczb rzeczywistych

Formalnie liczby rzeczywiste można zdefiniować jako strukturę algebraiczną $(\mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1, \leq)$ spełniającą następujące aksjomaty:

$(\mathbb R, +, \cdot, 0, 1, \leq )$ jest ciałem uporządkowanym.
Aksjomat Eudoksosa-Archimedesa
$\bigwedge_{\mathbb{R}\ni x>0}\bigwedge_{\mathbb{R}\ni y>x}\bigvee_{n\in\mathbb{N}}y<nx$
Aksjomat ciągłości Dedekinda
Każdy niepusty i ograniczony podzbiór $\mathbb R$ ma kres górny.

Równoważne sformułowanie aksjomatu ciągłości można otrzymać używając przekrojów Dedekinda, podanych dalej.

Niesprzeczność aksjomatu ciągłości Dedekinda z pozostałymi aksjomatami wykazali kolejno Dedekind i Cantor.

[edytuj] Konstrukcja przy pomocy przekrojów Dedekinda

Niech $\mathbf{X}$ będzie niepustym zbiorem takim, że między jego elementami określona jest relacja silnego porządku liniowego $\prec$ , którą będziemy nazywać relacją mniejszości.

Przekrojem Dedekinda zbioru $\mathbf{X}$ nazywamy parę zbiorów $(A, B)$ taką, że $A,B\subseteq \mathbf{X}$ oraz spełnione są następujące warunki:

$A\neq\varnothing, B\neq\varnothing$ ,
$A\cup B=\mathbf{X}$ ,
jeżeli $a\in A$ i $b\in B$ , to $a\prec b$ .

Zbiór $A$ nazywamy klasą dolną, a zbiór $B$ klasą górną przekroju. Przekrój wyznaczony parą zbiorów $(A, B)$ oznaczamy $[A, B]$ .

Aksjomat ciągłości Dedekinda można inaczej sformułować w następujący sposób:

Jeżeli

[A, B]

jest przekrojem Dedekinda zbioru $\mathbf{X}$ , to albo klasa dolna

A

ma element największy, albo klasa górna

B

ma element najmniejszy.

To sformułowanie jest równoważne sformułowaniu, że każdy niepusty i ograniczony podzbiór $\mathbf{X}$ ma kres górny.

Przyjmijmy $\mathbf{X}=\mathbb{Q}$ . Każdy przekrój Dedekinda $[A, B]$ tego zbioru można interpretować jako parę części wspólnych dwóch dotykających się półprostych i zbioru $\mathbb{Q}$ . Przy tym istnieją trzy możliwości:

$A$ ma element największy, należący do $\mathbb{Q}$
$B$ ma element najmniejszy, należący do $\mathbb{Q}$
Klasa $A$ nie ma elementu największego oraz klasa $B$ nie ma elementu najmniejszego.

Ilustracja powyższych możliwości:

ad 1. $A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq 1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x>1\}$

ad 2. $A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\geq 1\}$

ad 3. $A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x< 0 \vee x^2<2\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x>0 \vee x^2>2\}$

W przypadku 3. mówimy, że przekrój $[A, B]$ wyznacza lukę - ponieważ równanie $x 2 = 2$ nie ma rozwiązania w ciele liczb wymiernych, tym samym zbiór liczb wymiernych nie spełnia aksjomatu ciągłości Dedekinda.

Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych. Jeśli klasa dolna przekroju $[A, B]$ ma element największy lub klasa górna największy - $a\in \mathbb{Q}$ , to nazywamy go liczbą rzeczywistą wymierną. Jeśli przekrój $[A, B]$ wyznacza lukę, to nazywamy go liczbą rzeczywistą niewymierną. Określmy $\mathbb{Q}_-=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq 0\}$ oraz $\mathbb{Q}_+:=\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Q}_-$ .

Pojęcie	Definicja
Dodawanie	$[A 1, B 1] + [A 2, B 2] = [A 1 + A 2, B 1 + B 2]$
Element neutralny dodawania	$\overline{0}=[\mathbb{Q}_-, \mathbb{Q}_+]$
Element przeciwny	$- [A 1, B 1] = [ - B 1, - A 1]$
Iloczyn	Gdy $\mathbb{Q}_-\subset A_1, \mathbb{Q}_-\subset A_2$ $[A_1, B_1]\cdot [A_2, B_2]=[A_3, B_3]$ , przy czym: $[A_3,B_3]=[\mathbb{Q}_-\cup(A_1\setminus\mathbb{Q}_-)\cdot(A_2\setminus\mathbb{Q}_-),\mathbb{Q}\setminus A_3]$ Gdy $A_1,A_2\subset\mathbb{Q}_-$ wtedy $\mathbb{Q}_-\subset-B_1,\mathbb{Q}_-\subset-B_2$ $[A_1, B_1]\cdot [A_2,B_2]=[-B_1, -A_1]\cdot [-B_2, -A_2]$ Gdy $A_1\subset\mathbb{Q}_-\subset A_2$ , to $\mathbb{Q}_-\subset-B_1$ $[A_1, B_1]\cdot [A_2,B_2]=-([-B_1, -A_1]\cdot [A_2, B_2])$ Gdy $A_2\subset \mathbb{Q}_- \subset A_1$ $[A_1, B_1]\cdot [A_2,B_2]=-([-B_2, -A_2]\cdot [A_1, B_1])$ (przypadek jak wyżej)
Porządek	$[A_1, B_1]<[A_2, B_2] \iff A_1\subset A_2 \wedge [A_1, B_1]\neq [A_2, B_2]$

Wykazuje się, że zbiór $\mathbb{R}$ z działaniami i porządkiem określonymi jak w tabeli spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego oraz aksjomat ciągłości Dedekinda.

Działania w tym zbiorze oznaczamy tak samo jak działania w zbiorze liczb wymiernych.

[edytuj] Konstrukcja przy pomocy ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych

Niech $\mathcal{F}(\mathbb{N}, \mathbb{Q})$ będzie zbiorem wszystkich odwzorowań zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych.

Ciąg liczb wymiernych $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathcal{F}(\mathbb{N}, \mathbb{Q})$ nazywamy ciągiem Cauchy'ego, gdy

$\bigwedge_{\mathbb{Q}\ni\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p,q>n_0}|a_p-a_q|<\varepsilon$

Zbiór wszystkich ciągów Cauchy'ego, należących do $\mathcal{F}(\mathbb{N}, \mathbb{Q})$ oznaczmy $\mathcal{C}$ . W zbiorze tym wprowadzamy relację równoważności $\sim$ :

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \iff \bigwedge_{\mathbb{Q}\ni\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{n>n_0}|a_n-b_n|<\varepsilon$ .

Łatwo sprawdzić, że istotnie jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Zbiór $\mathbb{R}$ jest przestrzenią ilorazową $\mathcal{C}/_{\sim}$ . Wówczas $\mathbb{Q}$ możemy identyfikować ze zbiorem klas ciągów stałych. Mówimy, że zanurzyliśmy $\mathbb{Q}$ w $\mathbb{R}$ .

Działania w $\mathbb{Q}$ przenoszą się na działania w $\mathcal{F}(\mathbb{N}, \mathbb{Q})$ , a więc także na $\mathcal{C}$ . Dzięki temu możemy wprowadzić działania i porządek w $\mathbb{R}=\mathcal{C}/_{\sim}$ ograniczając się do reprezentantów. Niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \in\mathcal{C}$ .

Pojęcie	Definicja
Dodawanie	$[(a_n)_{n\in\mathbb{N}}]+[(b_n)_{n\in\mathbb{N}}]=[(a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}}]$
Element neutralny dodawania	$[0]$ - ciąg stale równy $0$
Element przeciwny	$-[(a_n)_{n\in\mathbb{N}}]=[(-a_n)_{n\in\mathbb{N}}]$
Iloczyn	$[(a_n)_{n\in\mathbb{N}}]\cdot [(b_n)_{n\in\mathbb{N}}]=[(a_nb_n)_{n\in\mathbb{N}}]$
Porządek	$[(a_n)_{n\in\mathbb{N}}]>[(b_n)_{n\in\mathbb{N}}] \iff \bigvee_{0<r\in\mathbb{Q}}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{n>n_0}b_n<a_n-r$

Wykazuje się, że definicja ta spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego i nie zależy od wyboru reprezentantów.

Ciało liczb rzeczywistych zawiera podciało, spełniające aksjomaty liczb wymiernych. Można zatem powiedzieć, że liczby wymierne są podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

Patrząc z drugiej strony, zbiór liczb wymiernych został przy tej konstrukcji uzupełniony o pewne nowe elementy. Elementy te nazywamy liczbami niewymiernymi, a ich zbiór oznaczamy po prostu $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Rozszerzanie liczb wymiernych za pomocą ciągów Cauchy'ego przy zmienionej definicji $| a |$ w relacji $\sim$ prowadzi do zupełnie innego rodzaju liczb. Zobacz sekcję liczby p-adyczne.

[edytuj] Ważne podzbiory liczb rzeczywistych

Oprócz zdefiniowanych wcześniej liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych warto wyróżnić:

liczby dodatnie - większe od zera
liczby ujemne - mniejsze od zera
liczby nieujemne - większe lub równe zeru
liczby niedodatnie - mniejsze lub równe zeru
liczby niewymierne - liczby rzeczywiste nie dające się przedstawić jako ułamek dwóch liczb całkowitych

[edytuj] Liczby zespolone $\mathbb{C}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby zespolone.

[edytuj] Aksjomatyka liczb zespolonych

Liczby zespolone są jedynym skończeniewymiarowym przemiennym ciałem obejmującym liczby rzeczywiste, różnym od ciała liczb rzeczywistych.^[8]

[edytuj] Konstrukcja Cayleya-Dicksona

Konstrukcja Cayleya-Dicksona jest metodą rozszerzania unormowanej przestrzeni liniowej przez tworzenie par jej elementów $(a,\;b)$ , a następnie definiowanie działań w następujący sposób:

Pojęcie	Definicja
Dodawanie	$(a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2)=(a_1+a_2,\;b_1+b_2)$
Element neutralny dodawania	$(0,\;0)$
Element przeciwny	$-(a,\;b)=(-a,\;-b)$
Iloczyn	$(a_1,\;b_1)(a_2,\;b_2)=(a_1 a_2-b_2 b_1^,\;a_1^ b_2+a_2 b_1)$
Element neutralny mnożenia	$(1,\;0)$
Element sprzężony	$(a,\; b)^* = (a,\; -b).\,$
Norma	$\|(a,\;b)\|=\sqrt{(a,\;b)^(a,\;b)}=\sqrt{(a^a+bb^*,\;ab-ba)}=\sqrt{\|a\|^2+\|b\|^2}$
Element odwrotny	$(a,\;b)^{-1}=\left( \frac{a}{\|a\|^2+\|b\|^2},\;-\frac{b}{\|a\|^2+\|b\|^2}\right )$

$a * = a$ oznacza tu liczbę sprzężoną do $a$ , czyli taką, że $a * a = | a | 2$

Liczby zespolone można utworzyć za pomocą tej konstrukcji, zastosowanej do liczb rzeczywistych, pamiętając, że dla liczb rzeczywistych $a * = a$ , a norma $| a |$ jest wartością bezwzględną. Stosując tę samą konstrukcję do liczb zespolonych dostajemy tzw. kwaterniony, następnie stosując ją do kwaternionów - oktoniony, a po zastosowaniu jej do oktonionów - sedeniony.

Tym samym każda liczba zespolona jest konstruowana jako para liczb rzeczywistych.

Działania arytmetyczne na poziomie rachunków na liczbach zespolonych są równoważne wprowadzeniu dodatkowej liczby $i$ (tzw. jednostki urojonej^[11]), posiadającej właściwość $i 2 = - 1$ i utożsamieniu pary $(a,\;b)$ z sumą $a + i b$ .

Liczbę $a$ nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznacza $\operatorname{Re}(z)$ , a liczbę $b$ częścią urojoną i oznacza $\operatorname{Im}(z)$

[edytuj] Płaszczyzna zespolona

Liczby zespolone można interpretować jako punkty płaszczyzny z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Jest to tzw. płaszczyzna zespolona, zwana czasem płaszczyzną Gaussa.

Dodawanie odpowiada wówczas przesunięciu o wektor (por. translacja), a mnożenie przez liczbę zespoloną o module równym 1 - obrotowi o pewien kąt wokół środka układu współrzędnych. Norma, w tym przypadku, to odległość euklidesowa od początku układu współrzędnych. Liczbę sprzężoną możemy interpretować jako odbicie lustrzane względem osi rzeczywistej (symetria osiowa względem prostej $\operatorname{Im}(z)=0$ ).

Płaszczyzna zespolona jest kolejną konstrukcją ciała liczb zespolonych.

[edytuj] Liczby algebraiczne $\mathbb{A}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby algebraiczne.

Oprócz zdefiniowanych wcześniej rodzajów liczb, w ciele liczb zespolonych zawiera się ważne podciało: liczby algebraiczne. Są to liczby zespolone będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Zbiór liczb algebraicznych z dodawaniem i mnożeniem tworzy ciało. W przeciwieństwie do $\mathbb{R}$ i $\mathbb{C}$ jest jednak przeliczalny.

Liczby zespolone, nie będące liczbami algebraicznymi nazywamy liczbami przestępnymi. Należą do nich m.in. π oraz e.

Liczby algebraiczne są w ogólności zespolone, ale wśród nich istnieją oczywiście także liczby rzeczywiste (w szczególności wszystkie liczby wymierne są algebraiczne). Nazywamy je po prostu rzeczywistymi liczbami algebraicznymi. Istnieje też nieskończona liczba ciał węższych od rzeczywistych liczb algebraicznych, lecz szerszych od liczb wymiernych, np. ciało liczb postaci $a+b\sqrt{2},$ gdzie $a,b\in \mathbb{Q}$ .

Istnieją też całkowite liczby algebraiczne. Nie oznacza to jednak przecięcia zbiorów liczb algebraicznych i liczb całkowitych^[12], lecz liczby zespolone będące pierwiastkami wielomianu o współczynnikach całkowitych i współczynniku przy największej potędze $x$ , równym 1. Liczby takie tworzą pierścień, gdyż suma, różnica i iloczyn dwóch całkowitych liczb algebraicznych daje również taką liczbę.

[edytuj] Kwaterniony $\mathbb{H}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Kwaterniony.

[edytuj] Aksjomatyka kwaternionów

Kwaterniony są jedynym skończeniewymiarowym pierścieniem z dzieleniem $K$ , obejmującym ciało liczb zespolonych, w którym zachodzi $a α = α a$ , dla wszystkich $a\in\mathbb{R}, \alpha\in K$ . ^[8]

[edytuj] Konstrukcja kwaternionów

Konstrukcja Cayleya-Dicksona może być zastosowana do liczb zespolonych. Dostajemy wówczas liczby, zwane kwaternionami. Każdą z nich można przedstawić w postaci $h = a + b i + c j + d k$ , gdzie liczby $1$ , $i$ , $j$ , $k$ mnożą się według poniższej tabeli:

$\cdot$	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$- 1$	$k$	$- j$
$j$	$j$	$- k$	$- 1$	$j$
$k$	$k$	$j$	$- 1$	$- i$

Kwaterniony nie tworzą zwykłego ciała, gdyż ich mnożenie nie jest przemienne. Posiadają jednak wszystkie inne właściwości wymagane od ciała, stąd czasem mówi się o ciele nieprzemiennym kwaternionów. Kwaterniony są jedynym możliwym rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, zachowującym te właściwości.

[edytuj] Oktoniony (oktawy Cayleya) $\mathbb{O}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Oktawy Cayleya.

Stosując ponownie konstrukcję Cayleya-Dicksona, tym razem do kwaternionów uzyskujemy tzw. oktawy Cayleya albo inaczej oktoniony.

Liczba zespolona była parą liczb rzeczywistych, kwaternion - czwórką, a oktawa jest ósemką liczb rzeczywistych.

Mnożenie oktonionów jest nie tylko nieprzemienne, ale także nie jest już łączne. Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów.

[edytuj] Sedeniony $\mathbb{S}$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Sedeniony.

Sedeniony powstają po zastosowaniu konstrukcji Cayleya-Dicksona do oktonionów. Sedeniony mają jeszcze gorsze właściwości algebraiczne - pojawiają się tzw. dzielniki zera, czyli istnieją wśród nich niezerowe liczby, których iloczyn jest zerem.

[edytuj] Algebry Clifforda

Liczby zespolone, kwaterniony, oktoniony i sedeniony można było przedstawić w postaci zapisu

$r_0+r_1 e_1+r_2 e_2+\dots +r_n e_n$ ,

gdzie $r i$ to liczby rzeczywiste, a $e i$ to różnego rodzaju stałe - jednostki urojone. Działania na liczbach były całkowicie określone przez iloczyny jednostek urojonych $e i$ .

Algebry Clifforda uogólniają te liczby, pozwalając na odmienne definicje tych iloczynów. Muszą one jedynie spełniać warunek:

$\tfrac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \Bigg\{ \begin{matrix} -1, 0, +1 & i=j, \\ 0 & i \not = j \end{matrix}$

Wiele spośród algebr Clifforda jest uważanych za odmiany liczb hiperzespolonych. Są to w szczególności:

liczby zespolone Cℓ_0,1(R)
split-complex numbers Cℓ_1,0(R)
kwaterniony Cℓ_0,2(R)
bikwaterniony Clifforda Cℓ_0,3(R)
kokwaterniony Cℓ_1,1(R) lub Cℓ_2,0(R)
tessariny
algebra czasoprzestrzeni Cℓ_1,3(R)
oktoniony
kooktoniony
sedeniony
kosedeniony

[edytuj] Liczby p-adyczne $\mathbb{Q}_p$

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby p-adyczne.

[edytuj] Aksjomatyka liczb p-adycznych

Ciała liczb p-adycznych (dla p będących dowolnymi liczbami pierwszymi) są jedynymi możliwymi uzupełnieniami ciała liczb wymiernych według nietrywialnej normy, nierównoważnej z wartością bezwzględną.^[13]

[edytuj] Konstrukcja liczb p-adycznych

Liczby rzeczywiste konstruowaliśmy (zobacz) m.in. jako zbiory ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych o tej samej granicy.

Liczby rzeczywiste były klasami równoważności relacji $\sim$ :

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \sim (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \iff \bigwedge_{\mathbb{Q}\ni\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{n>n_0}|a_n-b_n|<\varepsilon$ .

W definicji tej występuje wartość bezwzględna $| a |$ . Liczby p-adyczne dostaniemy, zmieniając ją na normę $|a|=p^{-w_p(a)}$ i $| 0 | = 0$ , gdzie $w_p(a)\in \mathbb{Z}$ jest wykładnikiem przy liczbie pierwszej $p$ w rozkładzie liczby wymiernej $a$ na czynniki pierwsze.

Liczby p-adyczne tworzą ciała. Ciała dla dwóch różnych wartości $p$ nie są jednak izomorficzne.

Liczby p-adyczne są używane w teorii liczb do rozwiązywania tzw. równań diofantycznych, czyli równań w których niewiadome mogą przyjmować tylko wartości całkowite. W kryptografii tego typu równania są stosowane do łamania szyfrów.

[edytuj] Liczby kardynalne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby kardynalne.

Innym, niż liczby całkowite, sposobem rozszerzenia pojęcia liczb naturalnych są tzw. liczby kardynalne.

Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, także nieskończone, jest tzw. moc zbioru. Dwa zbiory $A$ i $B$ mają tę samą moc, jeśli elementy zbioru $A$ można połączyć w pary z elementami zbioru $B$ , tak aby każdy element zbioru $A$ i każdy element zbioru $B$ były wykorzystane raz i tylko raz. Każdej mocy zbiorów odpowiada liczba kardynalna.

Ściślej liczba kardynalna to klasa równoważności relacji równoliczności zbiorów.

Liczby kardynalne i opisane dalej liczby porządkowe nie tworzą w ogóle zbiorów. Założenie, że można utworzyć zbiór liczb kardynalnych lub porządkowych prowadzi do sprzeczności^[14].

[edytuj] Liczby porządkowe

Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczby porządkowe.

Kolejnym rozszerzeniem liczb naturalnych (a także kardynalnych) są tzw. liczby porządkowe. Liczby naturalne są używane do kolejnego numerowania elementów skończonych zbiorów, np. pierwsze jabłko, drugie, itp. Georg Cantor uogólnił tak stosowane pojęcie liczb naturalnych na numerowanie elementów zbiorów o mocach większych od mocy zbioru liczb naturalnych.

Niech $(M,\le_1)$ i $(N,\le_2)$ będą zbiorami uporządkowanymi i $f:M\rightarrow N$ jest odwzorowaniem. Wówczas:

Odwzorowanie $f$ jest monotoniczne gdy:

$\bigwedge_{x}\bigwedge_{y}(x\le_1 y \Rightarrow f(x)\le_2 f(y))$

Odwzorowanie $f$ jest tzw. izomorfizmem porządkowym, gdy:

f

jest bijektywne i

f

oraz

f - 1

są monotoniczne.

Izomorficzne zbiory uporządkowane są nierozróżnialne na gruncie teorii porządku. Są też zawsze równoliczne.

Liczby porządkowe są definiowane jako klasy równoważności izomorfizmu zbiorów uporządkowanych. Nie tworzą zbioru lecz klasy^[15].

[edytuj] Liczby nadrzeczywiste

Liczby nadrzeczywiste (ang. surreal numbers) są klasą obiektów, spełniającą aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, jak i porządkowe (i tym samym także kardynalne). Zawiera również wielkości nieskończenie małe (infinitezymalne). Klasa liczb nadrzeczywistych oryginalnie została oznaczona^[16] No, jednak ze względu na podobieństwo do oznaczenia liczb naturalnych z zerem $\mathbb{N}_0$ poniżej użyty został symbol $F$ .

[edytuj] Aksjomatyka liczb nadrzeczywistych

Trójka $(F,\;<,\; b)$ jest systemem liczb nadrzeczywistych, jeśli:

$<$ jest porządkiem liniowym w $F$
$b$ (tzw. funkcja urodzinowa) jest funkcją określoną w $F$ , o wartościach będących liczbami porządkowymi.
Niech $A$ i $B$ będących podzbiorami $F$ , takimi że $\bigwedge_{x\in A}\bigwedge_{y\in B} x<y$ .

Wówczas istnieje $z\in F$ , takie że:

$\bigwedge_{x\in A}\bigwedge_{y\in B} x<z<y$

i jeśli liczba porządkowa

a

jest większa od każdego

b (u)

dla $u\in A \cup B$ , to $b(z)\le a$ .

Funkcja urodzinowa reprezentuje w pewnym sensie kolejne generacje liczb nadrzeczywistych.

[edytuj] Konstrukcja liczb nadrzeczywistych

Ich konstrukcja oparta jest na uogólnieniu idei przekrojów Dedekinda, zastosowanej przy konstrukcji liczb rzeczywistych.

Klasa liczb nadrzeczywistych wraz z porządkiem liniowym i funkcją urodzinową jest tworzona etapami, metodą indukcji pozaskończonej.

W każdym etapie tworzone liczby nadrzeczywiste są parami zbiorów $(L, R)$ liczb nadrzeczywistych utworzonych wcześniej, przy czym żadna liczba należąca do $L$ nie jest większa lub równa żadnej liczbie należącej do $R$ a wartość funkcji urodzinowej liczby $(L, R)$ jest większa od wartości funkcji urodzinowej dla każdej liczby w $L$ i $R$ .
Jeśli $x = (X L, X R)$ i $y = (Y L, Y R)$ reprezentują liczby nadrzeczywiste, to $x\le y$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigwedge_{x\in X_L} \bigwedge_{y\in Y_L} x\le y$

oraz

$\bigwedge_{x\in X_R} \bigwedge_{y\in Y_R} x\le y$

Definicja ta odwołuje się do porządku ustalonego we wcześniejszych krokach indukcji
Dwie liczby nadrzeczywiste $x$ i $y$ utożsamiamy ze sobą, jeśli $x\le y\le x$ .
Indukcję rozpoczynamy od pary $\{\empty,\empty\}$ utożsamianej z liczbą naturalną 0.
W danym kroku indukcji do liczb nadrzeczywistych dołączamy wszystkie liczby możliwe do utworzenia w sposób opisany w punkcie 1, o ile nie są tożsame (zgodnie z pkt. 3) z jakąś liczbą utworzoną we wcześniejszych krokach.

Para $(L, R)$ reprezentuje liczbę nadrzeczywistą większą od każdej liczby w $L$ i mniejszą od każdej liczby w $R$ .

Działania arytmetyczne

Dodawanie jest w tej konstrukcji zdefiniowane następująco:

$x + y = (\{ X_L + y \cup x + Y_L\} , \{X_R + y \cup x + Y_R \})$

gdzie $X + y = \{ x + y : x \in X \}$

$x + Y = \{ x + y : y \in Y \}$

Negacja liczby:

$-x=(\{-X_R\},\{-X_L\})\$

gdzie $-X = \{ - x : x \in X \}$

Mnożenie:

$xy = (\{ (X_L y + x Y_L - X_L Y_L) \cup (X_R y + x Y_R - X_R Y_R) \} ,$

$, \{(X_L y + x Y_R - X_L Y_R) \cup (X_R y + x Y_L - X_R Y_L)\})$

gdzie $XY = \{ xy : x \in X \wedge y \in Y \},$

$Xy = X\{y\},\$

$xY = \{x\}Y\$

[edytuj] Ważne podklasy liczb nadrzeczywistych

Liczby rzeczywiste. Przykładowo:

$\pi=\left(\left\{3, \frac{25}{8}, \frac{201}{64}, \dots\right\},\left\{ \dots, \frac{101}{32},\frac{51}{16},\frac{13}{4}, \frac{7}{2}, 4\right\}\right)$

Liczby porządkowe.
Liczby infinitezymalne, większe od zera, ale mniejsze od dowolnej liczby dodatniej, np.

$\epsilon=\left( \{0\},\left\{ \dots, \frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1 \right\}\right)$

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Kaye, Richard. Models of Peano arithmetic. Oxford University Press, 1991. ISBN 019853213X.
Klukowski, Jerzy i Nabiałek, I.. Algebra dla studentów. 2004. ISBN 8320431247.
Leja, Franciszek. Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa : PWN, 1976.
Maurin, Krzysztof. Analiza - Część I - Elementy. Warszawa : PWN, 1976.
Musielak, Helena i Musielak, Julian. Analiza matematyczna. Poznań : Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000. ISBN 8323210497.
Reinhardt, Fritz i Soeder, Heinrich. Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003. ISBN 8374691891.
Rutkowski, Jerzy. Algebra abstrakcyjna w zadaniach. 2006. ISBN 8301143886.
Tarski, Alfred i Givant, Steven. A Formalization of Set Theory without Variables. AMS Colloquium Publications, 1987., vol. 41. rozdział 7.6

Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce:

Miś, Bogdan. Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989.

[edytuj] Przypisy

↑ Owszem, wszystkie algebry liczbowe rozszerzają na różne sposoby algebrę liczb naturalnych (zobacz rysunek obok), lub stanowią szczególne przypadki innych liczb (jak liczby pierwsze, niewymierne, przestępne). Jednak nie wszystkie algebry zawierające półpierścień liczb naturalnych są uważane za liczby, np. macierzy nikt nie nazywa liczbami. Inną czasem stosowaną definicją liczby jest określenie jej jako elementu pewnego ciała. Ta definicja nie obejmuje jednak niektórych obiektów tradycyjnie zaliczanych do liczb (choćby wszystkich liczb hiperzespolonych, np. kwaternionów i oktonionów), obejmuje natomiast obiekty nie będące liczbami, np. abstrakcyjne ciała rozkładu wielomianów.
↑ bezpośrednio lub przez zdefiniowanie działania następnika z którego wynika dodawanie i mnożenie
↑ Wystarczy przypisać każdej liczbie wymiernej inną liczbę naturalną, np. tak:

$f (0) = 1$

$\frac{a}{b}>0 \Rightarrow f\left( \frac{a}{b} \right) =2^{|a|} 3^{|b|}$

$\frac{a}{b}<0 \Rightarrow f\left( \frac{a}{b} \right) =5^{|a|} 7^{|b|}$ - zakładając, że $\frac{a}{b}$ jest ułamkiem skróconym, tzn. liczby $a$ i $b$ nie jaką wspólnych dodatnich dzielników oprócz jedynki

a następnie zdefiniować następnik liczby wymiernej $q$ jako:

$S(q)=x: f(x)=\min\{f(r):\ f(r)>f(q)\}$

Zbiór liczb wymiernych spełnia wówczas aksjomaty Peano liczb naturalnych.
↑ i ewentualnie dalej - kwaterniony, oktawy Cayleya, sedeniony
↑ Aksjomatyka ta została wprowadzona przez Giuseppe Peano w wydanej po łacinie pracy Arithmetices principia, nova methodo exposita (Podstawy arytmetyki, zaprezentowane w nowy sposób) w roku 1889. W oryginalnej pracy Peano wprowadził więcej aksjomatów - oprócz wymienionych pięciu były dodatkowo podane cztery aksjomaty opisujące równość dwóch liczb naturalnych. Obecnie uważa się je za fundamentalne właściwości równości i wprowadza na poziomie logiki matematycznej, identycznie dla wszelkich obiektów matematycznych, nie tylko liczb naturalnych.
↑ Russell ogłosił ją w swojej Principia Mathematica
↑ Nieskończone zbiory również można podzielić na takie klasy - są to tzw. liczby kardynalne
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 Źródło: Reinhardt, Fritz i Soeder, Heinrich. Atlas matematyki. Prószyński i S-ka. ISBN 8374691891., str. 73
↑ np. Angelo Margaris Successor Axioms for the Integers, The American Mathematical Monthly, Vol. 68, No. 5 (May, 1961), pp. 441-444 doi:10.2307/2311096, pierwsza strona z aksjomatami dostępna tutaj
↑ Można też zbudować inną konstrukcję uznając, że drugi element pary musi być liczbą naturalną dodatnią. Konstrukcja taka jest izomorficzna z opartą na niezerowych liczbach całkowitych, jednak przy wprowadzaniu dzielenia liczb wymiernych konstrukcja oparta o liczby całkowite okazuje się wygodniejsza - dzielenie definiujemy zawsze jako $\frac{[(a,b)]}{[(c,d)]}=[(ad,bc)]$ . W przypadku konstrukcji, w której drugi element pary musi być liczbą naturalną, musimy odróżnić przypadek $c < 0$ i zdefiniować wówczas dzielenie inaczej: $\frac{[(a,b)]}{[(c,d)]}=[(-ad,-bc)]$
↑ Jednostkę urojoną w elektronice oznacza się przez $j$ , gdyż przyjęty w innych naukach symbol $i$ jest w elektronice używany dla oznaczenia natężenia prądu.
↑ byłby to po prostu zbiór liczb całkowitych, bo każda liczba całkowita jest algebraiczna
↑ twierdzenie Ostrowskiego
↑ tzw. antynomia Cantora, antynomia Russela
↑ Próba stworzenia zbiou liczb porządkowych prowadzi do tzw. anynomii Burali-Forti
↑ http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9947(198501)287%3A1%3C365%3ACFOSN%3E2.0.CO%3B2-R

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../a/k/s/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb.html"

Kategorie: Propozycje do Artykułów na medal • Liczby • Teoria mnogości • Algebra