Trigonometria

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Trigonometria (az ógörög τρίγωνος / trigonosz - "háromszög", és μέτρον / metron - "mérés" szavakból) a matematika egy ága, mely a síkgeometriában a derékszögű háromszögek oldalai és szögei közötti összefüggésekkel foglalkozik. A gömbi háromszögeket a gömbi trigonometria tanulmányozza. A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggést a trigonometrikus függvények írják le, a trigonometria feladatai közé tatozik ezek tulajdonságainak vizsgálata és az ezeken alapuló számítások.

[szerkesztés] Alapelvek

Két derékszögű háromszög hasonlóságát teljesen meghatározza egyik szögük nagysága, így oldalaik aránya mindig megegyezik, függetlenül hosszuktól. Ezeket az arányokat hagyományosan az ismert (például A szög) szögfüggvényeivel írják le:

A szinusz függvény (sin) a szöggel szemben lévő a befogó és a c átfogó hányadosa,
A koszinusz függvény (cos) a szög melletti b befogó és a c átfogó hányadosa,
A tangens függvény a szöggel szemben lévő a befogó és a szög melletti b befogó hányadosa.

Átfogó a derékszöggel szembeni oldal, befogó pedig a másik két oldal egy derékszögű háromszögben.

$\sin A=\frac{a}{c}$ $\cos A=\frac{b}{c}$ $\tan A=\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\cos A}$

A függvények reciprokait koszekáns (csc), szekáns (sec), illetve kotangens (ctg). Az inverz trigonometrikus függvények: arkuszszinusz (arc sin), arkuszkoszinusz (arc cos) és arkusztangens (arc tg). Ezek között a függvények között fennálló összefüggések a trigonometriai összefüggések.

Ezekkel a függvényekkel egy három adatával meghatározott tettszőleges háromszög hiányzó méretei (oldalhosszúságai és szögei) kiszámíthatók a szinusztétel és a koszinusztétel segítségével. Ezek az összefüggések használhatók a geometria minden területén, mivel minden sokszög véges számú háromszögre bontható.

A fenti definíciók csak 0 és 90° között (0 és π/2 radián között) értelmezhetők. Az egységsugarú kört alkalmazva a definíció kiterjeszthető az összes pozitív és negatív argumentumra (l. trigonometrikus függvények). A trigonometrikus függvények periódikus függvények, 180° (π radián) vagy 360° (2π radián) periodicitással. Ez azt jelenti, hogy ismétlődnek a fenti értékekkel.

[szerkesztés] Számolás trigonometrikus függvényekkel

A trigonometrikus függvényekről az elsők között készültek matematikai táblázatok. Ilyen függvénytáblákat matematikai segédkönyvként használtáék a tanulók, akik megtanulták azt is, hogyan kell interpolációt használni a táblázatban elérhetőnél nagyobb pontosság elérésére. A logarléc szintén tartalmazott egy vagy több skálát a szögfüggvények használatához.

Manapság a tudományos zsebszámológépeken a megfelelő gomb lenyomásával érhetők el a szögfüggvények (sin, cos és tg) és inverz függvényeik. A függvények argumentuma akár fok, akár radián lehet. A legtöbb számítógépes programnyelv rendelkezik függvénykönyvtárakkal, melyek többek között szögfüggvényeket is tartalmaznak. Olyan interaktív számítógépes eszközök, mint például az MS Excel, szintén támogatja a szögfüggvényeket. A személyi számítógépek mikroprocesszorának lebegőpontos egysége beépített utasításkészlettel rendelkezik szögfüggvények számításához.

[szerkesztés] A trigonometria korai törénete

A trigonometria táblája, Cyclopaedia, 1728.

A trigonometriát valószínűleg asztronómiai célokra találták fel. A trigonometria kezdeteit az ókori Egyiptom, Mezopotámia és az Indus völgyi civilizációig lehet követni több, mint 4000 évvel ezelőttig. A fokokban, percekben és másodpercekben történő szögmérés a babiloni hatvanas számrendszerből ered.

A trigonometria alkalmazásának első irásos említése a hellenizmus korában élt görög matematikustól, Hipparkhosztól származik kb. I.e. 150-ből, aki függvény táblát készített a sinus függvényre háromszögek számításához. Ptolemaiosz továbbfejlesztette a trigonometriai számításokat I.u. 100. körül.

Az Indiában írt Sulba Sutrák I. e. 800 és I. e. 500 között pontosan számolta ki a π/4 (45°) értékét, melyet 1/√2-ként adott meg.

Az ókori szingalézek, amikor víztározókat építettek Anuradhapura királyságban, trigonometriát használtak a vízáram gradiensének számításához.

Aryabhata indiai matematikus 499-ben szinusz és koszinusz függvénytáblát készített. A szinuszt zyanak, a koszinuszt kotizyanak nevezte, és otkram zya volt az inverz szinusz neve, valamint bevezette az 1-cosα függvényt is.

Egy mások indiai matematikus, Brahmagupta 628-ban szinusz értékek számításához a Newton-Stirling formulához hasonló interpolációt használt.

A 10. században Abul Wáfa perzsa matematikus és asztronómus bevezette a tangens függvényt és a szögfüggvénytáblázatok kiszámításához új módszert talált fel. Felállította a szögösszegezés képleteit vagyis például sin (a + b)-t, és felfedezte a szinusz képletet a gömbi geometriában:

$\frac{\sin(A)}{\sin(a)} = \frac{\sin(B)}{\sin(b)} = \frac{\sin(C)}{\sin(c)}$

A 10. század végén és a 11. század elején Ibn Yunus egyiptomi asztronómus több igen pontos trigonometriai számítást hajtott végre és bemutatta a $cos(a)cos(b) = (1 / 2)[cos(a + b) + cos(a - b)]$ összefüggést is.

Az indiai matematikusok élen jártak az algebra használatában a csillagászati számításoknál, beleértve a trigonometriát is. I. e. 1350-1200 körül Lagadha volt az első, aki geometriát és trigonometriát használt a csillagászatban a Vedanga Jyotisha művében. Omar Khajjám perzsa matematikus és költő (1048-1131) összekapcsolta a trigonometriát a közelítő számítások elméletével abból a célból, hogy geometriai problémákkal kapcsolatos algebrai egyenleteket oldjon meg.

Khajjám meghatározta a $x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000$ harmadfokú egyenlet pozitív gyökét úgy, hogy egy hiperbola és egy kör metszéspontját vizsgálta. A megoldáshoz közelítő numerikus eljárást használt, melynek során trigonometrikus táblázatban interpolált.

Az indiai Bhaskara 1150-ben részletes módszert közölt arra, hogyan kell szinusz táblázatot szerkeszteni bármely szögre és néhány összefüggést közült szinusz és koszinusz függvényre. Bhaskara a gömbi trigonometriát is továbbfejlesztette.

Valószínűleg Nasir al-Din Tusi perzsa matematikus volt az első a 13. században, aki a trigonometriát önálló matematikai diszciplínaként tárgyalta.

Bartholemaeus Pitiscus matematikus 1595-ben megjelent fontos munkájában használta először a "trigonometria" szót.