Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Wikipedia

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla voidaan ratkaista polynomiyhtälöt, jotka ovat muotoa ax² + bx + c = 0, missä . Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat.

Juurien määrä riippuu diskriminantin D = b² − 4ac arvosta seuraavasti:

jos D > 0, yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalilukujuurta x₁ ja x₂

jos D = 0, yhtälöllä on kaksoisjuuri x_1,2 eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta

jos D < 0, yhtälöllä on kaksi kompleksilukujuurta , jotka ovat toistensa liittoluvut.

[muokkaa] Kaavan johtaminen

Kerrotaan yhtälön ax² + bx + c = 0 molemmat puolet luvulla 4a, jolloin yhtälö tulee muotoon 4a²x² + 4abx + 4ac = 0. Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille luku b² − 4ac saadaan

4a²x² + 4abx + b² = b² − 4ac, eli

(2ax + b)² = b² − 4ac. Tästä saadaan

, josta

ja lopulta

.