בסיס (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.

[עריכה] הגדרה

[עריכה] בסיס

בסיס של מרחב טופולוגי $\ ( X,\tau )$ הוא אוסף $\ B$ של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, $\ \tau=\{\cup_{b \in I}b | I \subseteq B\}$ . מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל $\ x\in X$ ולכל קבוצה פתוחה $\ x\in U$ , קיימת קבוצה $\ b\in B$ בבסיס, כך ש- $\ x\in b\subseteq U$ .

בסיס נקרא גם מערכת סביבות יסודית.

אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לאיזושהי טופולוגיה) אם X מכוסה על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות $\ b_1,b_2 \in B$ ונקודה בחיתוך $\ x\in b_1 \cap b_2$ , קיימת קבוצה $\ b_3 \in B$ בבסיס, כך ש- $\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2$ . אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האיחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.

[עריכה] תת-בסיס

תת-בסיס של מרחב טופולוגי $\ ( X,\tau )$ הוא אוסף $\ S$ של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.

[עריכה] מושגים קרובים

מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה השניה, אם יש לו בסיס בן מניה.
בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
אקסיומת המנייה הראשונה היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי בן מניה.

[עריכה] דוגמאות

במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
בהישר הממשי, הקבוצה $\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}$ היא בסיס. הטופולוגיה שהוא משרה בעצם שווה לבסיס עצמו!
במרחב $\mathbb{R}$ עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה $\ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \}$ היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
הישר העשיר מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.