Benutzer:Stringtheorie/ART

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Die allgemeine Relativitätstheorie (kurz: ART) beschreibt die Wechselwirkung des Gravitationsfeldes mit Materie (inklusive Feldern). In ihrer Kernaussage führt sie die Gravitation auf ein geometrisches Phänomen in einer gekrümmten 4-dimensionalen Raumzeit zurück. Sie wurde von Albert Einstein, der von zahlreichen Mathematikern und Physikern unterstützt wurde, in einem Zeitraum von 10 Jahren entwickelt und 1916 veröffentlicht.

Die allgemeine Relativitätstheorie stellt eine Erweiterung der speziellen Relativitätstheorie dar und geht für hinreichend kleine Gebiete der Raumzeit in diese über. Gleichzeitig ist sie eine Erweiterung des newtonschen Gravitationsgesetzes und geht für hinreichend kleine Massen und Geschwindigkeiten in dieses über.

Inzwischen gibt es für die allgemeine Relativitätstheorie eine ausreichende Zahl von experimentellen Bestätigungen, so dass sie als Gravitationstheorie allgemein anerkannt ist. Insbesondere hat sie sich bisher in der von Einstein formulierten Form gegen alle später vorgeschlagenen Alternativen durchsetzen können.

Der folgende Artikel baut auf den Ausführungen des Artikels Relativitätstheorie auf und hat zum Ziel, das Verständnis bezüglich der dort erwähnten Phänomene und Strukturen zu vertiefen.

[Bearbeiten] Einleitung

Der zentrale Inhalt der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine von der klassischen Mechanik abweichende Anschauung der Eigenschaften von Raum und Zeit als Raumzeit:

Energie und Impuls der Materie beeinflussen die Geometrie der Raumzeit. Als Folge dieses Einflusses ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte, die Geodäte der Raumzeit, keine ideale Gerade mehr. Diese Beeinflussung lässt sich über einen erweiterten Krümmungsbegriff formulieren, und in der ART wird zur Beschreibung von Raum und Zeit der Begriff der Raumzeitkrümmung verwendet.
Die Bewegung eines Gegenstandes in Raum und Zeit, auf den keine Kraft ausgeübt wird, erfolgt analog der klassischen Vorstellung entlang einer Geodäten. Eine Geodäte der Raumzeit ist jedoch in der Regel keine Gerade, die eine Geodäte des 3-dimensionalen Raumes ist. Den Einfluss von Materie auf diese Bewegung, den die klassische Mechanik mithilfe der Gravitation beschreibt, beschreibt die ART ausschließlich über die Geometrie der Raumzeit. Dabei wird eine Bewegung eines Gegenstands entlang eines bestimmten Weges im Raum als Weg in den vier Dimensionen der Raumzeit interpretiert und als seine Weltlinie bezeichnet.

Die erste Eigenschaft beschreibt eine Wirkung von Energie und Impuls auf die Raumzeit, und die zweite umgekehrt. Die Anwesenheit von Materie verändert also die geometrischen Verhältnisse des Raumes, und aus diesen ergeben sich die Bewegungsgleichungen von Materie.

Die Wechselwirkung zwischen Materie untereinander wird also statt über das Modell der Gravitation über das Modell der Raumzeitkrümmung dargestellt. Die ART betrachtet die räumlichen und zeitlichen Koordinaten als gleichartig, und behandelt alle zeitlichen Änderungen als geometrisches Problem.

[Bearbeiten] Gravitation und Geometrie

Die unterschiedlichen Sichtweisen auf die Gravitation in der klassischen Mechanik und der ART lassen sich am Beispiel der Wurfparabel gut erläutern:
Ein Jongleur, der auf der Erde steht, wirft einen Ball.

In der klassischen Mechanik wird der Jongleur als ruhend angenommen. Wird die Erdrotation und die Bewegung der Erde um die Sonne nicht berücksichtigt, ist das Ruhesystem des Jongleurs also ein Inertialsystem. Da der Ball in diesem Inertialsystem eine Beschleunigung erfährt, wie man an seiner gekrümmten Flugbahn erkennt, schließt man auf eine Kraft, die den Ball zur Erde hin anzieht. Um den Endpunkt seiner Flugbahn zu erreichen, in dem der Jongleur den Ball wieder fängt, legt der Ball die Wurfparabel zurück. Der Jongleur dagegen ruht, woraus man schließt, dass die auf ihn wirkenden Kräfte sich aufheben. Auf ihn wirkt eine Gegenkraft, die verhindert, dass er durch den Erdboden stürzt.

In der ART ist die Interpretation desselben Sachverhalts eine Andere: Dasjenige Bezugsystem wird als Inertialsystem angesehen, in dem die Gravitation verschwindet. Die Gravitation wird damit ähnlich wie eine Scheinkraft der klassischen Mechanik behandelt. Sie verschwindet in genau dem System, das sich mit dem Ball mitbewegt, also dessen Ruhesystem. Die Gegenkraft, die auf den Jongleur wirkt, verschwindet aber nicht. Aus diesem System heraus wird der Jongleur und mit ihm die Erdoberfläche ständig in dem Maße nach oben beschleunigt, in dem der Ball in der klassischen Betrachtungsweise nach unten bescheunigt wird. In der ART wird der Jongleur von dieser Gegenkraft auf einer nichtgeodätischen Bahn gehalten, während der Ball sich kräftefrei auf einer Geodäte bewegt. Der Endpunkt der Bahnen ist der Punkt, in dem die Weltlinien von Ball und Jongleur sich treffen. Im Unterschied zur klassischen Betrachtungsweise hat jedoch der Ball den kürzesten Weg durch die Raumzeit dorthin zurückgelegt. Dabei muss man beachten, dass in der Raumzeit die Punkte von Abwurf und Fangen nie gleich sind, da die Zeit eine Koordinate ist.

Für die Beschreibung der Weltlinien bewegter Körper ist in der ART keine Schwerkraft als Erklärung nötig. Sie entsprechen bei Abwesenheit von Kräften genau den Geodäten der Raumzeit.

[Bearbeiten] Lokale Inertialsysteme

Aus dem Beispiel der Wurfparabel lässt sich nun ein scheinbares Paradoxon konstruieren, das zeigt, inwiefern sich die Gravitation von einer gewöhnlichen Scheinkraft unterscheidet:

Betrachtet man einen zweiten Jongleur auf der anderen Seite der Erde, so muss auch das Ruhesysteme seines geworfenen Balls ein Inertialsystem sein. Dieser Ball ist aber, vom Ruhesystem des Balls des ersten Jongleurs aus betrachtet, doppelt so stark beschleunigt, wie die beiden Jongleure. Man erhält also zwei Inertialsysteme, die relativ zueinander beschleunigt sind. Das widerspricht aber der speziellen Relativitätstheorie.

Die Lösung dieses scheinbaren Paradoxons besteht darin, dass in der ART Inertialsysteme nur lokal als solche aufgefasst werden. Das bedeutet, dass nur in einem kleinen Raumgebiet und Zeitintervall sinnvoll Inertialsysteme betrachtet werden können, streng genommen sogar nur in einem einzigen Punkt in Raum und Zeit. Dieser lokale Charakter unterscheidet die Gravitation von Scheinkräften der klassischen Mechanik.

[Bearbeiten] Raumzeitkrümmung und Dimensionen

Aus dem lokalen Charakter von Inertialsystemen folgt aber Folgendes: Zwei kräftefreie Körper, die sich, von einem ihrer lokalen Inertialsysteme aus betrachtet, parallel bewegen, bewegen sich nach einiger Zeit in dem dann zu wählenden Inertialsystem nicht mehr parallel. Die kräftefreie Bewegung entspricht dabei einer Parallelverschiebung entlang der Zeitachse. Diese Verzerrung von Raumzeitgeodäten ist also kein rein räumliches Phänomen, sondern man muss die Zeit als Dimension mit einbeziehen. Die Verzerrung geodätischer Bahnen der Raumzeit in Bezug zu jedem Inertialsystem ist die Raumzeitkrümmung.

Sie ist nur sehr begrenzt vergleichbar mit der Krümmung der euklidischen Geometrie, die beschreibt, wie eine eindimensionale Linie ist in der Ebene oder im Raum gekrümmt, oder ein in sich ebenes Blatt im Raum gewellt ist.

Der Krümmungsbegriff der ART ist aber keine Krümmung in eine höhere Dimension, der Raum ist nicht „in die vierte Dimension gekrümmt“. Raumzeitkrümmung bezieht sich darauf, dass die inertialen Koordinatensysteme durch Koordinatenlinien beschrieben werden, die den Geodäten folgen, und daher im Bezug zur klassischen Physik verzerrt erscheinen. Die Vierdiminensionalität, die die ART verwendet, bezieht sich darauf, dass auch die Zeit als eine der räumlichen Ausdehnung entsprechende Koordinate und daher als Dimension betrachtet wird. Man muss daher darauf achten, dass zur Beschreibung der Krümmung die Zeit mit einbezogen werden muss.

[Bearbeiten] Grundlegende Konzepte

Der ART liegen einige Konzepte zugrunde, die als Ausgangspunkt der Theorie aufgefasst werden können. Durch diese Konzepte erklärt sich, welche Probleme in der Physik Einstein dazu veranlassten, die ART als neue Gravitationstheorie zu formulieren. Die Theorie folgt dabei nicht zwingend aus diesen Prämissen, ist aber die einfachste bekannte Umsetzung derselben.

[Bearbeiten] Korrespondenzprinzip

Obwohl das newtonsche Gravitationsgesetz und die spezielle Relativitätstheorie jeweils gute Ergebnisse liefern, sind sie unvereinbar. Die newtonsche Gravitation ist nämlich eine sofort wirkende Kraft, das heißt ihre Wirkung breitet sich unendlich schnell aus. Nach der speziellen Relativitätstheorie kann sich jedoch keine Information, also auch keine Kraftwirkung, mit Überlichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Das bedeutet, dass nach Entwicklung der speziellen Relativitätstheorie eine neue Gravitationstheorie nötig war. Diese Theorie musste für langsam bewegte und nicht zu dichte Massen das newtonsche Gravitationsgesetz als Grenzfall enthalten. Dichte Massen bewirken nämlich große Gravitationsbeschleunigungen an ihrer Oberfläche, die zu relativistischen Effekten führen. Auf der anderen Seite ist auch die spezielle Relativitätstheorie nicht allgemein gültig, sondern nur in Raumzeitgebieten, in denen die Gravitation vernachlässigbar ist. Sie gilt also im Vakuum, aber in der Nähe von Massen gilt sie nur noch in differentiell kleinen Raumgebieten bei kleinen Zeitintervallen. Diese Grenzfälle bezeichnet man als Korrespondenzprinzip.

Die allgemeine Relativitätstheorie erweitert das newtonsche Gravitationsgesetz und die spezielle Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Beschreibung von Systemen aus bleiebig großen, beliebig schnell bewegten Massen. Damit erlaubt sie – zumindest theoretisch – auch bei Anwesenheit von Massen die ganze Raumzeit auf einmal zu beschreiben.

Dadurch bietet sie die theoretische Grundlage für ein modernes Fundamentalsystem der Astronomie, etwa das aktuelle, auf dem FK6 aufgebaute, das an fernen Sternen und Quasaren geeicht werden kann, und in Form des erdfesten International Terrestrial Reference System (ITRS) Berechnungen der Lichtlaufzeit für Satellitennavigation (etwa GPS, Galileo) und Satellitengeodäsie (ERS, GRACE, DORIS, PRARE, u.a.) nutzbar macht.

[Bearbeiten] Relativitätsprinzip

Eine krumme Raumzeit ist nicht mehr mit kartesischen Koordinaten beschreibbar. Stattdessen kann das Koordinatensystem, für das man die einsteinschen Feldgleichungen aufstellen will, nahezu beliebig gewählt werden. Es muss lediglich jedem Ereignis in Raum und Zeit 4 Parameter zuweisen. Diese Parameter müssen auf kleinen Raumgebieten, die der speziellen Relativitätstheorie gehorchen, hinreichend differenzierbare Funktionen der dort lokal definierbaren kartesischen Koordinaten sein, damit die Methoden der Differentialgeometrie für die krumme Raumzeit überhaupt angewendet werden können.

Damit gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie ein deutlich erweitertes Relativitätsprinzip: Die Gesetze der Physik haben nicht nur in allen Inertialsystemen die gleiche Form, wie es in der speziellen Relativitätstheorie der Fall ist, sondern in beliebigen Koordinatensystemen.

Beispielsweise kann selbst ein Beobachter auf einem rotierenden Drehschemel den Standpunkt vertreten, er selbst sei in Ruhe und der Kosmos rotiere um ihn herum. In der Tat beschreiben die einsteinschen Feldgleichungen auch diese Situation korrekt. In diesem rotierenden Koordinatensystem nimmt die Krümmung eine Form an, die tatsächlich die enormen Zentripetalkräfte zur Folge hat, die die Sterne bei ihrer Kreisbewegung um den Beobachter auf ihrer Bahn halten.

Dass sich dabei die Sterne aus Sicht des rotierenden Beobachters mit vielfacher Lichtgeschwindigkeit bewegen, steht nicht im Widerspruch zur Theorie, da die Lichtgeschwindigkeit nur in der speziellen Relativitätstheorie als Grenze gilt, das heißt für hinreichend kleine Raumzeit-Bereiche, die die Kriterien für Inertialsysteme erfüllen. Aus der Sicht des rotierenden Beobachters können sich in einigen Lichtjahren Entfernung senkrecht zur Rotationsachse jedoch keine Sterne in Ruhe befinden, so dass sich nirgendwo Sterne lokal mit Überlichtgeschwindigkeit begegnen können. Ein Informations- beziehungsweise Materietransport von einem Stern zu einem anderen mit Überlichtgeschwindigkeit ist wie in der speziellen Relativitätstheorie unmöglich.

Obwohl es also möglich ist, den Kosmos aus der Sicht eines rotierenden Beobachters korrekt zu beschreiben, sind die Gleichungen eines Bezugssystems, in dem die meisten Objekte ruhen oder sich nur langsam bewegen, in der Regel aber einfacher. Die Bedingung eines nicht-rotierenden Koordinatensystems für Inertialsysteme und die Unterscheidung in ihrer Betrachtung, den die klassische Physik erfordert, entfällt aber prinzipiell.

Im allgemeinen Fall eines Mehrkörpersystem auf allerengstem Raum ist die Raumzeit hochgradig gekrümmt und die Krümmung in jedem Koordinatensystem auch zeitlich veränderlich, da es kein Koordinatensystem gibt, in dem alle Körper des Systems ruhen. Daher ist von vornherein kein Kandidat für ein ausgezeichnetes Koordinatensystem erkennbar, das sich zur Beschreibung aller Phänomene eignet.

Das Relativitätsprinzip besagt für diesen allgemeinen Fall, dass es auch nicht nötig ist, danach zu suchen, weil alle Koordinatensysteme gleichberechtigt sind. Man kann also je nachdem, welches Phänomen man beschreiben will, verschiedene Koordinatensysteme wählen und das rechentechnisch einfachste Modell auswählen.

Daher kann die ART auch auf den klassischen astronomischen Begriff der Scheinbarkeit von Bewegungen verzichten, den das noch in der Newtonschen Anschauung verhaftete heliozentrische Weltbild erforderte: Moderne hochpräzise Planetentheorien, die die relativistischen Effekte berücksichtigen, wie etwa die Variations Séculaires des Orbites Planétaires (VSOP), verwenden baryzentrische Koordinaten statt heliozentrischen, und auch moderne dynamische Zeitsysteme (TDT, TDB), die die gravimetrischen Störungen der Atomzeit korrigieren, beziehen sich auf das jeweilige günstigste räumliche Koordinatensystem.

[Bearbeiten] Äquivalenzprinzip

Bereits in der klassischen Mechanik war das Prinzip der Äquivalenz von träger und schwerer Masse bekannt. Es besagt in seiner klassischen Form, die man auch als schwaches Äquivalenzprinzip bezeichnet, dass die schwere Masse, die angibt, wie stark die durch ein Gravitationsfeld an einem Körper erzeugte Kraft ist, und die träge Masse, die sagt, wie stark ein Körper durch eine Kraft beschleunigt wird, äquivalent sind. Dies bedeutet insbesondere, dass jeder Körper sich unabhängig von seiner Masse in einem Schwerefeld (bei Abwesenheit anderer Kräfte) gleich bewegt. So fallen beispielsweise im Vakuum alle Körper gleich schnell, und die geostationäre Bahn ist für schwere Satelliten wie für leichte Satelliten stets dieselbe. Folge des klassischen Äquivalenzprinzips ist, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum, ohne Information von außen, aus dem mechanischen Verhalten von Gegenständen im Raum nicht ablesen kann, ob er sich in Schwerelosigkeit oder im freien Fall befindet.

Raum mit einem Beobachter und einem Laser.
Beschleunigung a, Gravitationsbeschleunigung g.
Aquivalenzprinzip: Im freien Fall (rechts unten) sind die physikalischen Phänomen genauso wie in Schwerelosigkeit (mitte links).
In einem System, in dem a und g entgegengesetzt und gleich groß sind, verhalten sich sowohl der Beobachter, als auch der Lichtstrahl so, als würde der Raum nach oben beschleunigt. Die Gravitation hat also keinen Einfluss auf die Physik im Raum.

Dieses Prinzip wurde von Einstein verallgemeinert: Das einsteinsche starke Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Raum ohne Information von außen durch überhaupt kein Experiment feststellen kann, ob er sich in der Schwerelosigkeit fernab von Massen befindet oder im freien Fall nahe einer Masse. Das bedeutet insbesondere, dass auch ein Lichtstrahl für einen Beobachter im freien Fall nicht – wie in einem beschleunigten Bezugssystem – parabelförmig gekrümmt ist. Andererseits muss ein Beobachter, der im Gravitationsfeld ruht, wie der Jongleur im obigen Beispiel, einen Lichtstrahl gekrümmt wahrnehmen, da er die ganze Zeit gegen den freien Fall nach oben beschleunigt wird.

Es muss allerdings beachtet werden, dass dieses Prinzip nur lokal gilt:

So wird ein „unten“ (näher am Gravizentrum) befindliches Objekt stärker angezogen, als ein weiter „oben“ befindliches. Ist der frei fallende Raum in vertikaler Richtung groß genug, so wird der Beobachter daher feststellen, dass Objekte, die sich weiter oben befinden, von denen, die sich weiter unten befinden, entfernen.
Umgekehrt wird sich bei ausreichender horizontaler Ausdehnung des Raumes die Richtung der Anziehungskraft merklich ändern, so dass der frei fallende Beobachter feststellen wird, dass weit auseinander gelegene Körper sich aufeinander zu bewegen. Ein ausgedehnter Körper wird also eine Kraft erfahren, die ihn in eine Richtung auseinanderzieht und in den dazu senkrechten Richtungen zusammendrückt.

Anhand dieser Kraft, Gezeitenkraft genannt, kann er feststellen, dass er sich in einem Gravitationsfeld befindet.

In der ART folgt das Äquivalenzprinzip direkt aus der Beschreibung der Bewegung von Körpern: Da sich alle Körper entlang Geodäten der Raumzeit bewegen, kann ein Beobachter, der sich entlang einer Geodäte bewegt, nur dann eine Krümmung der Raumzeit feststellen, die er als Gravitationsfeld interpretieren könnte, wenn das von ihm beobachtbare Raumzeitstück maßgeblich gekrümmt ist. In diesem Fall beobachtet er die oben genannten Gezeitenkräfte.

Daher muss das beobachtbare Raumgebiet und Zeitintervall hinreichend klein sein, damit dieser Effekt unterhalb der Nachweisgrenze bleibt, wenn man die spezielle Relativitätstheorie als Näherung verwendet (genauere Messgeräte bedingen entsprechend ein noch kleineres Raumgebiet und Zeitintervall).

Umgekehrt muss das Raumzeitintervall groß genug sein, um die ART experimentell von der speziellen Relativitätstherorie zu unterscheiden:
Direkte Tests der Gleichheit von schwerer und träger Masse wurden bereits von Eötvös ab 1890 vor der Entwicklung der Relativitätstheorie durchgeführt (Eötvös-Experimente, mittels langer Pendel). Da das einsteinsche Äquivalenzprinzip auf dieser Gleichheit beruht, sind solche Tests geeignet, um die Allgemeine Relativitätstheorie zu widerlegen. Nicht zuletzt, weil die Gleichheit von schwerer und träger Masse auch für den eventuellen Nachweis einer fünften Naturkraft relevant ist, ist dieses Thema auch heute noch sehr aktuell, und es wurden viele entsprechende Experimente durchgeführt. Eötvös selbst konnte die Genauigkeit seiner Experimente im Laufe der Zeit so steigern, dass er die Gleichheit mit einer Genauigkeit von 10^-9 nachweisen konnte. Durch Experimente mit den Laserreflektoren, die bei Apollo-Missionen auf dem Mond aufgestellt worden waren (Lunar Laser Ranging), konnte Shapiro 1976 die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips mit einer Genauigkeit von 10^-12 nachweisen. Adelberger et al. publizierten 1999 eine Arbeit, die dieses Prinzip mit einer Genauigkeit von 10^-13 bestätigt. Es sind neue Experimente geplant, die die Genauigkeit auf 10^-15 (TEPEE/GREAT: General Relativity Accuracy Test) oder gar bis zu 10^-18 (STEP: Satellite Test of the Equivalence Principle) steigern sollen.

[Bearbeiten] Machsches Prinzip

Einstein war bei der Entwicklung der Relativitätstheorie stark von Ernst Mach beeinflusst. Insbesondere die Annahme, dass die Trägheitskräfte eines Körpers nicht von dessen Bewegung relativ zu einem absoluten Raum, sondern von dessen Bewegung relativ zu den anderen Massen im Universum abhängen, welche er als machsches Prinzip bezeichnete, war für Einstein eine wichtige Arbeitsgrundlage. Die Trägheitskräfte sind nach dieser Auffassung also Resultat der Wechselwirkung der Massen untereinander und ein unabhängig von diesen Massen existierender Raum wird verneint. Demnach sollten beispielsweise Fliehkräfte rotierender Körper verschwinden, wenn das restliche Universum „mitrotiert“.

Diese von Einstein bevorzugte, recht allgemeine Formulierung des machschen Prinzips ist jedoch nur eine von vielen, nicht äquivalenten Formulierungen. Daher ist das machsche Prinzip und sein Verhältnis zur ART bis heute umstritten. Beispielsweise fand Kurt Gödel 1949 eine globale Lösung der Feldgleichungen, das so genannte Gödel-Universum, welche manchen spezifischen Formulierungen des machschen Prinzips widerspricht. Es gibt jedoch andere spezifische Formulierungen des Prinzips, denen das Gödel-Universum nicht zuwider läuft.

Einstein sah den Lense-Thirring-Effekt, den die ART vorhersagte, als eine Bestätigung seiner Version des machschen Prinzips. Folge dieses Effektes ist, dass Bezugsysteme innerhalb einer rotierenden massiven Hohlkugel eine Präzession erfahren, was Einstein so interpretierte, dass die Masse der Kugel Einfluss auf die Trägheitskräfte hat. Da jedoch bei der Rechnung und der Interpretation ein „ruhendes“ Bezugsystem in Form eines Fixsternhimmels angenommen wurde, ist auch diese Interpretation umstritten.

Die allgemein gehaltene Version des machschen Prinzips, die Einstein formulierte, ist also zu ungenau, um entscheiden zu können, ob sie mit der ART vereinbar ist.

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung

[Bearbeiten] Gekrümmte Raumzeit

Die mathematische Beschreibung der Raumzeit und ihrer Krümmung erfolgt mit den Methoden der Differentialgeometrie, die die Euklidische Geometrie des uns vertrauten „flachen“ Raumes der klassischen Mechanik ablöst. Die Differentialgeometrie verwendet dabei Mannigfaltigkeiten, einen Typus spezieller topologischer Räume, und beschreibt wichtige Eigenschaften mit Tensoren, die Abbildungen auf der Mannigfaltigkeit darstellen.

Die maßgebliche Größe zur Beschreibung von Energie und Impuls der Materie ist der Energie-Impuls-Tensor.
Die gekrümmte Raumzeit wird als Lorentz-Mannigfaltigkeit – einer speziellen semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit – beschrieben.
Eine besondere Bedeutung kommt dem metrischen Tensor zu. Wenn man in den metrischen Tensor zwei Vektorfelder einsetzt, erhält man für jeden Punkt der Raumzeit eine reelle Zahl. In dieser Hinsicht kann man den metrische Tensor als eine Art Skalarprodukt für Vektorfelder in jedem Punkt der Raumzeit verstehen. Mit seiner Hilfe werden Abstand und Winkel definiert und er wird daher kurz als Metrik bezeichnet. In welcher Weise die Raumzeit gekrümmt wird, wird durch die einsteinschen Feldgleichungen festgelegt.
Ebenso bedeutend ist der riemannsche Krümmungstensor zur Beschreibung der Krümmung der Mannigfaltigkeit, der eine Kombination von ersten und zweiten Ableitungen des metrischen Tensors darstellt. Wenn der Krümmungstensor in irgendwelchen Koordinaten in einem Punkt nicht null ist, kann man keine Koordinaten finden, so dass er in diesem Punkt null wird. Umgekehrt ist der Krümmungstensor in allen Koordinaten null, wenn er in einem Koordinatensystem null ist. Man kann also unabhängig vom Koordinatensystem entscheiden, ob eine Mannigfaltigkeit an einem bestimmten Punkt gekrümmt ist oder nicht.

[Bearbeiten] Einsteinsche Feldgleichungen

Die einsteinschen Feldgleichungen stellen einen Zusammenhang zwischen einigen Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem Energie-Impuls-Tensor her, der insbesondere die lokale Massendichte beziehungsweise über $E = m c 2$ die Energiedichte enthält.

Diese Grundgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie enthalten 10 unabhängige Komponenten, ähnlich wie eine Vektorgleichung der euklidschen Raumes aus 3 Komponenten besteht:

$R_{\mu\nu} - \frac{R}{2}\, g_{\mu\nu} + \Lambda\, g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}\, T_{\mu\nu}$ .

Dabei ist

R μν

der Ricci-Krümmungstensor,

R

der Ricci-Krümmungsskalar,

g μν

der metrische Tensor,

Λ

die kosmologische Konstante,

c

die Lichtgeschwindigkeit,

G

die Gravitationskonstante und

T μν

der Energie-Impuls-Tensor.

Die Feldgleichungen werden verwendet, um bei bekanntem Energie-Impuls-Tensor die Metrik zu bestimmen. Wenn man die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors einsetzt, erhält man 10 gekoppelte Differentialgleichungen für die Komponenten der Metrik, denn der Krümmungstensor und die daraus abgeleiteten Größen sind Ableitungen der Metrik. Aufgrund ihrer Kompliziertheit ist es meist nicht möglich, exakte Lösungen für die Feldgleichungen zu finden, sondern man muss Verfahren zum Finden einer Näherungslösung verwenden.

Es steht nicht der ganze Krümmungstensor in den Feldgleichungen, sondern nur der abgeleitete Ricci-Krümmungstensor und der Ricci-Krümmungsskalar. Diese beiden Summanden werden zusammengefasst auch als Einsteintensor $G μν$ bezeichnet. Dieser enthält nicht alle Informationen über die Krümmung der Raumzeit. Ein Teil der Raumzeitkrümmung, die sogenannte Weyl-Krümmung ist also unabhängig vom Energie-Impuls-Tensor und damit von der Massen- und Energiedichte.

Die kosmologische Konstante $Λ$ wurde von Einstein zunächst lediglich eingeführt, um ein zeitlich stabiles Universum zu gewährleisten. Das Gleichgewicht, das er damit erreichte, erwies sich jedoch als instabiles Gleichgewicht. $Λ$ hat formal den Stellenwert einer Art Integrationskonstanten, und hat daher zunächst keinen bestimmten Zahlenwert, der direkt aus der Theorie folgen würde.

Die Feldgleichungen beinhalten keine Information über die Bewegung von Teilchen in der gekrümmten Raumzeit. Sie geben lediglich an, wie der Materie- und Energieinhalt sich auf die Krümmung der Raumzeit auswirkt. Für die andere Richtung der Wechselwirkung, also die Auswirkung der Raumzeitkrümmung auf die Dynamik der Teilchen, muss man die Bewegungsgleichungen betrachten.

[Bearbeiten] Bewegungsgleichungen

Betrachtet man nun einen Körper, auf den eine - nicht-gravitative, zum Beispiel elektromagnetische – Kraft $K^{\mu}\$ wirkt, so lauten die Bewegungsgleichungen

$m \ddot{x}^{\mu} + m \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = m \ddot{x}^{\mu} + m \frac{g^{\mu \rho}}{2} \left( \partial_{\lambda} g_{\nu\rho} + \partial_{\nu} g_{\lambda\rho} - \partial_{\rho} g_{\lambda\nu} \right) \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = K^{\mu}$

Für den Fall, dass auf einen Körper keine Kraft (bzw. keine nicht-gravitativen Kraft) wirkt, wird seine Weltlinie durch die Geodätengleichungen der gekrümmten Raumzeit beschrieben. Man erhält sie, indem man im obigen Kraftgesetz die Kraft $K^{\mu}\ = 0$ setzt

$\ddot{x}^{\mu} + \Gamma_{\lambda \nu}^{\mu} \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = \ddot{x}^{\mu} + \frac{g^{\mu \rho}}{2} \left( \partial_{\lambda} g_{\nu\rho} + \partial_{\nu} g_{\lambda\rho} - \partial_{\rho} g_{\lambda\nu} \right) \dot{x}^{\lambda} \dot{x}^{\nu} = 0$

Dabei ist m die Masse des Körpers und $\left(x^\mu \right) = (x^0,\, x^1,\, x^2,\, x^3)$ sind die vier Raumzeit-Komponenten der Weltlinie des Körpers;

x 0

steht für die Zeit-Komponente. $\Gamma_{\lambda \nu}^{\mu}$ ist ein Christoffelsymbol 2. Art, das die Abhängigkeit des metrischen Tensors vom Raumzeitpunkt, also die Raumzeitkrümmung, charakterisiert. Die

g μρ

sind Komponenten des kometrischen Tensors (nicht die Komponenten des metrischen Tensors

g νρ

In der Formel werden außerdem Kurzschreibweisen verwendet: Für die Differentiale $\partial_{\mu} : = \frac{\partial }{\partial x^{\mu}}$ , sowie die Summenkonvention, die besagt, dass über Indizes, die jeweils einmal oben und einmal unten stehend auftauchen, automatisch von 0 bis 3 summiert wird.

Das Kraftgesetz ist eine Verallgemeinerung des klassischen Aktionsprinzips auf vier Dimensionen einer gekrümmten Raumzeit. Die Gleichungen lassen sich erst lösen, wenn der metrische Tensor bekannt ist. Man erhält ihn durch Lösen der einsteinschen Feldgleichungen.

Betrachtet man eine Wolke von nicht wechselwirkenden massiven Teilchen, so erhält man einen nicht verschwindenden Energie-Impuls-Tensor. Setzt man diesen in die Feldgleichungen ein, erhält man die Metrik einer gekrümmte Raumzeit. Aufgrund der Geodätengleichungen kann dies zur Beschleunigung einiger betrachteter Körper führen, wodurch sich der Energie-Impuls-Tensor ändert. Dadurch ändert sich wiederum die Raumzeitkrümmung und damit auch die Geodätengleichungen. Die Feldgleichungen und die Geodätengleichungen beschreiben also die beiden Richtungen der Wechselwirkung von Raumzeit und Materie.

Wenn man elektrisch geladene Teilchen betrachtet, muss man gleichzeitig mit den Feldgleichungen auch immer die Maxwellgleichungen lösen und die erhaltenen Kräfte in das volle Kraftgesetz einsetzen. Anhand dieser Betrachtung ist klar, dass man die Feldgleichungen als mathematische Beschreibung eines Kraftfeldes analog zu den Maxwellgleichungen auffassen kann. Was die ART jedoch von gewöhnlichen Feldtheorien unterscheidet, ist dass das Feld der ART, nämlich die Metrik, die Geometrie der Raumzeit beschreibt.

Die Kräfte berechnen sich im allgemeinen etwas anders, als in der speziellen Relativitätstheorie. In den Formeln für die Kräfte, zum Beispiel in den Maxwell-Gleichungen, muss man anstelle der partiellen Ableitungen nach Raumzeitkomponenten nun kovariante Ableitungen in den Bewegungsgleichungen verwenden. Da die Ableitungen nach Raumzeitkomponenten die Änderungen einer Größe beschreiben, heißt das, dass die Änderungen aller Felder (also ortsabhängige Größen) nun in der gekrümmten Raumzeit beschrieben werden müssen. Welche Ersetzungen genau in den Formeln gemacht werden müssen, ist dem Artikel Christoffelsymbole zu entnehmen.

[Bearbeiten] Wirkung

Um die einsteinsche Feldgleichung mittels des Prinzips der kleinsten Wirkung herzuleiten, muss man eine Wirkung finden, durch deren Variation man die Feldgleichungen reproduzieren kann. Diese ist die Einstein-Hilbert-Wirkung, welche erstmals von David Hilbert angegeben wurde:

$\mathcal{S}_{g} = \int R \cdot vol_g \; d^4\! x = \int R \cdot \sqrt{-\det{g}} \; d^4\! x$

Dabei ist

R

wieder der Ricci-Krümmungsskalar,

g

ist der metrische Tensor und $vol_g = \sqrt{-\det{g}}$ heißt die Volumenform zu

g

Die Forderung, dass die Variation der Wirkung $\delta \mathcal{S}_{g}$ für jede Variation der Metrik $\delta g\$ verschwindet, liefert zunächst einmal nur die Gleichungen

$R_{\mu\nu} - \frac{R}{2}\, g_{\mu\nu} = 0$

Die kosmologische Konstante $Λ$ erhält man, wenn man als Randbedingung ansetzt, dass auch die Variation des Volumenfunktionals $V = \int vol_g \; d^4\! x$ verschwinden soll. Dabei verwendet man die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, wobei die kosmologische Konstante $Λ$ dem Lagrange-Multiplikator entspricht. Die rechte Seite der Feldgleichungen, also die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, erhält man, indem man zusätzlich die Terme, die Materie- und Energiedichte beschreiben, zur Wirkung hinzunimmt.

Durch Variation der vollständigen Wirkung nach $x^{\mu}\$ ergibt sich das Kraftgesetz, durch Variation nach $A^{\mu}\$ ergeben sich die kovarianten inhomogenen Maxwellgleichungen. Dabei spielt jedoch die Einstein-Hilbert-Wirkung keine Rolle, da weder $x^{\mu}\$ noch $A^{\mu}\$ darin enthalten sind.

[Bearbeiten] Physikalische Effekte

Die einsteinschen Feldgleichungen folgen nicht zwingend aus dem Äquivalenzprinzip, sondern sie sind nur die einfachste Form einer Gravitationstheorie, welche auf dem Äquivalenzprinzip aufbaut. Es gibt mathematisch kompliziertere Theorien, die auch das Äquivalenzprinzip erfüllen. Sie ergeben sich beispielsweise, indem man den einsteinschen Gleichungen kovariante Terme mit höheren Ableitungen der Metrik hinzufügt. Eine bekannte Alternativtheorie ist auch die Brans-Dicke-Theorie. Zur Bestätigung der ART reicht es deshalb nicht aus, Experimente durchzuführen, mit denen man zwischen der ART und der newtonschen Mechanik entscheiden kann. Es ist letztlich auch nötig, experimentell zwischen der ART und anderen Gravitationstheorien zu entscheiden. Abweichungen von den Vorhersagen der ART könnten auch ein neuer Anstoß zur Entwicklung einer schlüssigen und experimentell überprüfbaren Quantentheorie der Raumzeit sein.

[Bearbeiten] Gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung

Gravitative Rotverschiebung einer Lichtwelle

Die gravitative Zeitdilatation ist streng genommen kein Effekt der ART, sondern folgt bereits aus der speziellen Relativitätstheorie und dem Äquivalenzprinzip der ART. Wenn man eine in einem Gravitationsfeld ruhende Uhr betrachtet, muss sie durch eine Gegenkraft in Ruhe gehalten werden, wie der Jongleur im ersten Beispiel. Sie wird also fortwährend beschleunigt, so dass man die Formel für die Zeitdilatation in einem beschleunigten Bezugsystem aus der speziellen Relativitätstheorie benutzen kann. Dies hat zur Folge, dass der Effekt nicht symmetrisch ist, wie man es von zwei gleichförmig bewegten Bezugsystemen in der speziellen Relativitätstheorie kennt. Ein Beobachter im Weltall sieht also die Uhren auf der Erde langsamer gehen, als seine eigene Uhr. Umgekehrt, sieht ein Beobachter auf der Erde Uhren im Weltall schneller gehen als seine eigene Uhr.

Eine direkte Folge der Zeitdilatation ist die gravitative Rotverschiebung. Sie wurde von Einstein bereits 1911 vor Fertigstellung der allgemeinen Relativitätstheorie vorausgesagt. Da sie bereits aus der Energieerhaltung hergeleitet werden kann, ist ihre experimentelle Bestätigung zwar notwendige Voraussetzung für die Gültigkeit der ART, hat aber andererseits nicht sehr große Aussagekraft.

Licht, das von einer Lichtquelle mit einer gegebenen Frequenz nach oben (also vom Gravitationszentrum weg) ausgestrahlt wird, wird dort mit einer geringeren Frequenz gemessen, ähnlich wie beim Doppler-Effekt. Das bedeutet also insbesondere, dass bei einem Lichtsignal mit einer bestimmten Anzahl von Schwingungen der zeitliche Abstand zwischen dem Beginn und dem Ende des Signals beim Empfänger größer ist als beim Sender. Dies wird durch die gravitative Zeitdilatation verständlich.

Aufgrund der gravitativen Zeitdilatation ist das Zeitintervall zwischen Anfang und Ende der Lichtwelle umso länger, je weiter nach oben man sich im Gravitationsfeld bewegt, weil die Zeit zunehmend schneller verstreicht. Das bedeutet, dass die Welle bei ihrer Bewegung nach oben immer länger gemessen wird. Daher muss auch der Abstand zwischen den einzelnen Wellenbergen immer mehr wachsen, so dass das Licht also immer langwelliger, also energieärmer erscheint.

[Bearbeiten] Lichtablenkung und Lichtverzögerung

Hauptartikel: Shapiro-Verzögerung

Simulation der Ablenkung des Lichts eines Sterns (rot) im Gravitationsfeld eines Neutronensterns (blau).

Licht nahe einer großen Masse bewegt ich aus Sicht eines entfernten Beobachters langsamer als mit Vakuumlichtgeschwindigkeit. Dieses Phänomen wird nach seinem Entdecker als Shapiro-Verzögerung bezeichnet. Außerdem nimmt ein entfernter Beobachter eine Ablenkung des Lichtes nahe großer Massen wahr. Diese beiden Effekte gehen auf dieselbe Erklärung zurück. Die reale Zeit, die sogenannte Eigenzeit, nahe der Masse ist verschieden vom Zeitbegriff des entfernten Beobachters. Außerdem hat die Masse auch Auswirkungen auf das Verhalten des Raums, ähnlich einer Lorentzkontraktion, was sich nur im Rahmen der ART und nicht klassisch erklären lässt. Diese beiden Effekte sind für kleine Massen etwa gleich groß und addieren sich. Ein Beobachter der sich selbst nahe der Masse befindet wird dementsprechend die Vakuumlichtgeschwindigkeit als Geschwindigkeit des Lichtstrahls messen. Der entfernte Beobachter nimmt jedoch eine verringerte Geschwindigkeit wahr, die er mittels eines ortsabhängigen Brechungsindex beschreiben kann. Diese Beschreibung liefert auch eine Erklärung für die Lichtablenkung, die als eine Art Brechung interpretiert werden kann.

Die obige Erklärung beruht auf einer Analogie. Die abstrakte Interpretation im Rahmen der ART ist, dass die Nullgeodäten, auf denen sich Licht bewegt, nahe großen Massen im Raum gekrümmt erscheinen. Es ist dabei zu berücksichtigen, dass das Licht sich auch in der Zeit bewegt, so dass hier tatsächlich eine Raumzeitkrümmung und keine reine Krümmung des dreidimensionalen Raumes vorliegt.

[Bearbeiten] Periheldrehung

Hauptartikel: Apsidendrehung

Die Periheldrehung der Bahn eines Planeten. Die Exzentrizität der Bahn und der Betrag der Drehung sind schematisch übertrieben.

Von der Relativitätstheorie wird auch die Periheldrehung der Bahnen von Planeten um die Sonnen vorausgesagt. Bereits 1854 wurde durch Urbain-Jean-Joseph Le Verrier erkannt, dass die Bahn des Merkur eine Periheldrehung von etwa 0,1 Bogensekunden pro Umlauf aufweist, was nicht allein auf die Störung durch andere Planeten zurückzuführen ist. Der fehlende Anteil der Periheldrehung konnte durch die Relativitätstheorie erklärt werden, was ein erster Erfolg für diese Theorie war. Auch die gemessenen Fehlbeiträge zur Periheldrehung anderer Planeten sowie auch des Kleinplaneten Icarus stimmen mit theoretischen Berechnungen gemäß der Relativitätstheorie überein. Die sich in der Planung befindende europäisch-japanische Merkursonde BepiColombo soll es ermöglichen, die Bewegung des Merkur mit bisher unerreichter Genauigkeit zu bestimmen und damit Einsteins Theorie noch genauer zu testen.

[Bearbeiten] Gravitationswellen

Zweidimensionale Darstellung von Gravitationswellen, die von zwei einander umkreisenden Neutronensternen ausgesandt werden.

Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, dass sich die Gravitationswirkung nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann. Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation führt jedoch zur Frage der Aberration, die man bei endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitation nach dem newtonschen Gravitationsgesetz erwarten würde.^[1] Es handelt sich dabei um den Effekt, dass die Umlaufbahnen der Planeten instabil werden, wenn die Gravitationskraft immer auf einen vergangenen Aufenthaltsort des anziehenden Körpers zeigt. In der ART tritt dieser Effekt jedoch nicht auf, weil durch die Veränderung des Gravitationsgesetzes gegenüber dem newtonschen Gravitationsgesetz geschwindigkeitsabhängige Anteile des Gravitationsfeldes hervorgerufen werden, die den Aberrationseffekt fast genau kompensieren.^[2] Die Abweichung kann als Effekt von Gravitationswellen verstanden werden, die zu einer Verkleinerung der Bahnradien führen können.

Die erwähnten Gravitationswellen sind von der allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagte transversale Wellen. Sie wären dadurch beobachtbar, dass sich quer (transversal) zu ihrer Ausbreitungsrichtung der Raum periodisch ausdehnt und zusammenzieht. Da es bei der Gravitation keine positive und negative Ladung wie beim Elektromagnetismus gibt, können Gravitationswellen nicht als Dipolstrahlung sondern nur als Quadrupolstrahlung auftreten. Außerdem ist die Kopplung der Gravitation an Materie sehr viel schwächer als beim Elektromagnetismus.

Daraus folgt eine sehr geringe Intensität der Gravitationswellen was der Nachweis sehr erschwert. Das erwartete Verhältnis von Längenveränderung zur betrachteten Strecke liegt in der Größenordnung von 10²¹, das entspricht etwa einem Tausendstel Protondurchmesser pro Kilometer. Aufgrund dieser Schwierigkeiten ist noch kein direkter Nachweis von Gravitationswellen gelungen.

[Bearbeiten] Schwarze Löcher

Hauptartikel: Schwarzes Loch

Die ART sagt voraus, dass ein Körper mit extrem hoher Dichte schließlich so dicht werden kann, dass er die Raumzeit so stark krümmt, dass kein Licht und damit auch keine Materie mehr entkommen kann. Ein solches Objekt wird als Schwarzes Loch bezeichnet und wurde erstmals durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben. Die Oberfläche, bei deren Überschreiten ein Lichtstrahl nicht mehr entkommen kann, wird als Ereignishorizont bezeichnet. Da ein schwarzes Loch kein Licht aussenden oder reflektieren kann, ist es unsichtbar und kann nur indirekt über die Effekte der enormen Raumzeitkrümmung beobachtet werden.

Die Existenz von schwarzen Löchern gilt inzwischen als empirisch gesichert, obwohl es keine direkten Beobachtungen solcher Objekte gibt. So wird inzwischen angenommen, dass sich in den Zentren der meisten Galaxien supermassive schwarze Löcher befinden. Die Beobachtung sogenannter Materie-Jets sowie die Messung der Umlaufzeiten zentrumsnaher Sterne sind klare Hinweise auf solche schwarze Löcher.

[Bearbeiten] Lense-Thirring-Effekt

Hauptartikel: Lense-Thirring-Effekt

Im Jahr 1918 wurde von dem Mathematiker Josef Lense und dem Physiker Hans Thirring der nach ihnen benannte Lense-Thirring-Effekt (auch Frame-Dragging-Effekt) theoretisch vorhergesagt. Der Effekt beschreibt die Beeinflussung des lokalen Inertialsystems durch eine rotierende Masse, was man sich vereinfacht so vorstellen kann, dass die rotierende Masse die Raumzeit um sich herum wie eine zähe Flüssigkeit geringfügig mitzieht und dadurch verdrillt.

Derzeit wird noch diskutiert, ob den Wissenschaftlern um Ignazio Ciufolini von der Universität Lecce und Erricos Pavlis von der University of Maryland in Baltimore im Jahr 2003 der experimentelle Nachweis des Effektes gelungen ist. Sie vermaßen dafür die Bahnen der geodätischen Satelliten LAGEOS 1 und 2 präzise, da deren Position und Lage von der Masse der sich drehenden Erde beeinflusst werden sollte. Aufgrund möglicher Fehlerquellen durch das uneinheitliche Schwerefeld der Erde ist umstritten, ob die zentimetergenauen Positionsbestimmungen der LAGEOS-Satelliten ausreichten, um diesen relativistischen Effekt nachzuweisen.

Der NASA-Satellit Gravity Probe B, gestartet im April 2004, ist mit mehreren präzisen Gyroskopen ausgestattet, welche den Effekt sehr viel genauer vermessen können. Zur Messung des Effektes werden bei diesem Satellit die Änderungen der Drehrichtungen von vier Gyroskopen bestimmt.

[Bearbeiten] Kosmologie

Die Kosmologie ist ein Teilgebiet der Astrophysik, das sich mit dem Ursprung und der Entwicklung des Universums befasst. Da die Entwicklung des Universums maßgeblich durch die Gravitation bestimmt ist, ist die Kosmologie eines der Hauptanwendungsgebiete der ART. Im Standardmodell der Kosmologie wird das Universum als homogen und isotrop angenommen. Mit Hilfe dieser Symmetrien vereinfachen sich die Feldgleichungen der ART zu den Friedmann-Gleichungen. Die Lösung dieser Gleichungen für ein Universum mit Materie implizieren eine Phase der Expansion des Universums. Dabei ist das Vorzeichen der Skalarkrümmung auf kosmischer Skala entscheidend für die Entwicklung eines expandierenden Universums.

Bei einer positiven Skalarkrümmung wird das Universum zunächst expandieren und sich dann wieder zusammenziehen, bei verschwindender Skalarkrümmung wird die Expansionsgeschwindigkeit einen festen Wert annehmen und bei negativer Skalarkrümmung wird das Universum beschleunigt expandieren

Einstein fügte 1917 die kosmologische Konstante in die Feldgleichungen ein, um ein Modell eines statischen Kosmos zu ermöglichen. Die kosmologische Konstante kann je nach Vorzeichen die kosmische Expansion verstärken oder ihr entgegen wirken.

Messungen der Expansion des Universums haben innerhalb der Fehlergrenzen eine verschwindende Skalarkrümmung ergeben. Allerdings geht man aufgrund von Beobachtungen der kosmischen Expansion und der Hintergrundstrahlung davon aus, dass das Universum beschleunigt expandiert, was mit einer kleinen positiven kosmologischen Konstante erklärt wird.

[Bearbeiten] Noch ausstehende Probleme

Messungen der Bewegungen von Objekten wie Sternen oder Galaxien, die unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes von galaktischen und intergalaktischen Dimensionen stehen, zeigen generell eine Abweichung von der Bewegung, welche nach einem gemäß der ART berechneten Gravitationsfeld zu erwarten ist, wenn man nur von der sichtbaren Materie ausgeht. Das verbreitetste Erklärungsmodell dafür ist die sogenannte Dunkle Materie. Das Modell wurde 2006 indirekt bestätigt.^[3]

Bei Raumsonden wie etwa Pioneer 10 und 11, welche sich in den äußeren Bereichen des Sonnensystems bewegen, wurden kleine Abweichungen der Bahnen entdeckt, die sogenannte Pioneer-Anomalie. Für diese gibt es bislang keine allgemein anerkannte Erklärung. Diese Anomalie ist jedoch ohne weitere Beobachtungen nicht sicher zu erklären, weil die Ungenauigkeit der Messung, insbesondere was die Richtung der Beschleunigung angeht, zu groß ist.

Obwohl es keine Beobachtung gibt, die der ART widerspricht und ihre Verhersagen gut bestätigt sind, ist klar, dass es eine umfassende Theorie geben muss, in deren Rahmen die ART ein Spezialfall ist. Die ART ist nämlich bei sehr hohen Teilchenenergien oder entsprechend bei sehr kleinen Raumzeitgebieten mit starker Krümmung nicht mit der Quantentheorie vereinbar. Es muss also eine Quantenfeldtheorie der Gravitation geben, die eine Vereinigung der ART mit der Quantenfeldtheorie darstellt. Die aktuell (2006) am meisten diskutierten Ansätze zur Lösung dieses Problems sind die Stringtheorie und die Schleifenquantengravitation. Es existiert jedoch eine Vielzahl weiterer Modelle, die allerdings nicht so populär sind.

[Bearbeiten] Geschichte

[Bearbeiten] Die Aufstellung der Feldgleichungen

Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie wurden fast ausschließlich von Einstein entwickelt. Er stützte sich jedoch auf die Vorarbeit vieler anderer. So gibt er Überlegungen von Ernst Mach als Grundlage seiner Überlegungen an. Weiterhin verwendete er die von Carl Friedrich Gauß, Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel, Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita entwickelte Differentialgeometrie, die Marcel Grossmann, ein mit ihm befreundeter Mathematiker, für ihn aufbereitete. Außerdem verwendete er die maßgeblich von Hermann Minkowski entwickelte mathematische Formulierung der speziellen Relativitätstheorie, die vom Konzept der Raumzeit Gebrauch machte.

Die erste Veröffentlichung, die der allgemeinen Relativitätstheorie zugerechnet werden kann, ist eine 1908 veröffentlichte Arbeit Einsteins über den Einfluss von Gravitation und Beschleunigung auf das Verhalten von Licht in der speziellen Relativitätstheorie, in der er bereits das Äquivalenzprinzip formuliert und die gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung sowie die Lichtablenkung durch massive Körper vorhergesagt wird.^[4] Der Hauptteil der Theorie wurde aber erst in den Jahren von 1911 bis 1915 hauptsächlich von Einstein erarbeitet. Den Beginn seiner Arbeit markiert dabei eine zweite Veröffentlichung zur Wirkung der Gravitation auf Licht im Jahr 1911, in der Einstein seine Veröffentlichung von 1908 aufarbeitet.^[5]

Bevor er die Arbeit abschloss, veröffentlichte Einstein 1913 einen Entwurf für die Relativitätstheorie, der bereits eine gekrümmte Raumzeit beinhaltete.^[6] Aufgrund von Problemen mit dem Prinzip der generellen Kovarianz, das sich letztlich doch als richtig erwies, verfolgte Einstein jedoch in der Folgezeit einen falschen Ansatz, bevor er das Problem letztlich 1915 lösen konnte. Er hielt während seiner Arbeit auch Vorträge darüber und tauschte sich mit Mathematikern, namentlich Marcel Grossmann und David Hilbert, aus.

Oktober 1915 veröffentlichte Einstein eine Arbeit über die Periheldrehung des Merkur^[7], in der er noch von falschen Feldgleichungen ausging, welche inkonsistent mit lokaler Erhaltung von Energie und Impuls waren. Im November 1915 fanden Einstein und Hilbert die richtigen Feldgleichungen, wobei unklar ist, wer von den beiden sie als erster fand. Ebenso unklar ist, inwiefern es einen schriftlichen Austausch zwischen den beiden gab. Hilberts Artikel wurde fünf Tage vor Einsteins Artikel eingereicht, doch erst nach diesem veröffentlicht. Einsteins Artikel Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, der als das Kernstück der ART aufgefasst werden kann, wurde am 20. März 1916 in den Annalen der Physik veröffentlicht.^[8]

Ein Beitrag zur ART, der jedoch eindeutig Hilbert zugeordnet werden kann, ist das Wirkungsfunktional der ART, das Hilberts Ansatzpunkt zur Herleitung der Feldgleichungen in seinem 1916 veröffentlichten Artikel war.^[9]

[Bearbeiten] Exakte Lösungen der Feldgleichungen

Nach der Aufstellung der Feldgleichungen wurde nach Lösungen dafür unter verschiedenen Randbedingungen gesucht. Die erste exakte Lösung der Feldgleichungen ist die bereits 1916 von Karl Schwarzschild gefundene und nach ihm benannte Schwarzschild-Metrik, die zur Beschreibung von schwarzen Löchern herangezogen wird.^[10] Sie wurde 1916 von Hans Reissner^[11] und 1918 von Gunnar Nordström^[12] zur nach ihnen benannten Reissner-Nordström-Metrik weiterentwickelt, mit der sich elektrisch geladene schwarze Löcher beschreiben lassen.

1963 fand Roy Kerr die nach ihm benannte Kerr-Metrik mit der sich die Raumzeit nahe einem rotierenden schwarzen Loch beschreiben lässt.^[13] Die Erweiterung auf elektrisch geladene und rotierende schwarze Löcher ist die 1965 gefundene Kerr-Newman-Metrik.^[14]

Als Einstein erkannte, dass die Feldgleichungen kein kosmologisches Modell eines statischen Universums ermöglichen, führte er 1918 die kosmologische Konstante ein.^[15] 1922 fand Alexander Friedmann eine Lösung der Feldgleichungen ohne kosmologische Konstante,^[16] welche ein expandierendes oder kontrahierendes Universum zuließ und 1927 fand Georges Lemaître eine exakte Lösung für ein expandierendes Universum.^[17] Als Edwin Hubble 1929 seine Beobachtungen zur Rotverschiebung veröffentlichte^[18] und damit einen Beleg für die Expansion des Universums erbrachte, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie George Gamow zufolge als seine "größte Eselei". In der modernen Astronomie wird jedoch die Möglichkeit einer nicht verschwindenden kosmologischen Konstante in Betracht gezogen.

Die Robertson-Walker-Metrik ist eine Weiterentwicklung von Lemaîtres Lösung, die Howard Percy Robertson 1935^[19] und Arthur Geoffrey Walker, 1936^[20] unabhängig von einander formulierten. Auch sie ist eine exakte Lösung der Feldgleichung und beschreibt ein expandierendes, homogenes und isotropes Universum, wird also als Modell zur Beschreibung unseres Universums herangezogen. Sie ist daher in der Kosmologie von sehr großer Bedeutung.

[Bearbeiten] Literatur

Populärwissenschaftlich

Harald Fritzsch: Die verbogene Raum-Zeit. Piper, 1997. ISBN 3-492-22546-2
Marcia Bartusiak: Einsteins Vermächtnis. Europäische Verlagsanstalt, 2005. ISBN 3-4345-0529-6
Rüdiger Vaas: Tunnel durch Raum und Zeit. 2. Auflage. Franckh-Kosmos, 2006. ISBN 3440093603

Lehrbücher

Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, 2003. ISBN 3-8274-1356-7.
Charles Misner; Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman, San Francisco 1973. ISBN 0-7167-0344-0
Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991. ISBN 3326000839
Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York 1972. ISBN 0471925675
Wolfgang Rindler: Relativity: Special, General and Cosmological. 2. Auflage. Oxford University Press, 2006. ISBN 0198567324
Robert M. Wald: General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 0226870332
Stephen W. Hawking, G. F. R. Ellis:The Large Scale Structure of Space-time. Cambridge University Press. ISBN 0521099064

Fachartikel

Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit. 36, Nr. 5, 2005, S. 230–235. ISSN 0031-9252
Clifford M. Will: The Confrontation between General Relativity and Experiment. In: Living Rev. Relativity. 9, Nr. 3, 2006. ISSN 1433-8351 (Onlinedokument)

[Bearbeiten] Weblinks

http://www.einstein-online.info/

[Bearbeiten] Einzelnachweise

↑ Pierre-Simon Laplace: A Treatise in Celestial Mechanics. Volume IV, Book X, Chapter VII. Übers.: N. Bowditch. Chelsea, New York 1966
↑ S. Carlip: Aberration and the Speed of Gravity. 1999 (Onlinedokument, PDF)
↑ Douglas Clowe, et al.: A Direct Empirical Proof of the Existence of Dark Matter. In: ApJ Letters in press. 2006 (Onlinedokument, PDF)
↑ Albert Einstein: Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. In: Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik IV. 1908, S. 411–462 (Faksimile, PDF)
↑ Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. In: Annalen der Physik. 35, 1911, S. 898–908 (Faksimile, PDF)
↑ Albert Einstein, Marcel Grossmann: Entwurf einer verallgemeinerten Relativitaetstheorie und einer Theorie der Gravitation. In: Zeitschrift fuer Mathematik und Physik. 62, 1913, S. 225–261
↑ Albert Einstein: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. 1915, S. 831–839)
↑ Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 49, 1916, S. 769–822 (Faksimile, PDF)
↑ David Hilbert: Die Grundlagen der Physik. In: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Nachrichten (1915). S. 395–407
↑ Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der einsteinschen Theorie. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1, 1916, S. 189–196
↑ Hans Reissner: Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. In: Annalen der Physik. 50, 1916, S. 106–120 (Faksimile, PDF)
↑ Gunnar Nordström: On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory. In: Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. 20, 1918, S. 1238–1245 (Faksimile)
↑ Roy Patrick Kerr: Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. In: Physical Review Letters. 11, 1963, S. 237–238
↑ E. T. Newman; R. Couch; K. Chinnapared; A. Exton; A. Prakash; R. Torrence: Metric of a Rotating, Charged Mass. In: J. Math. Phys. 6, 1965, S. 918–919
↑ Albert Einstein: Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 55, 1918, S. 241–244 (Faksimile, PDF)
↑ Alexander Friedmann: Über die Krümmung des Raumes. In: Zeitschrift für Physik. 10, 1922, S. 377–386
↑ Georges Lemaître: Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques. In: Annales de la Société Scientifique de Bruxelles XLVII. 1927, S. 49–59
↑ Edwin Hubble: A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 15, Nr. 3, 1929, S. 168–173 (Faksimile, PDF)
↑ Howard Percy Robertson: Kinematics and World Structure. In: Astrophysical Journal. 82, 1935, S. 284–301 (Faksimile: Part I, Part II, Part III, PDF und GIF)
↑ Arthur Geoffrey Walker: On Milne's Theory of World-Structure. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 42, 1936, S. 90–127

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